Υπολογιστής Αθροίσματος Riemann
Προσεγγίστε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης αθροίζοντας τα εμβαδά ορθογωνίων κατά μήκος ενός διαστήματος.
Function f(x)
Sample point
Approximate area under the curve
- 1
Subinterval width (Δx)
(2 − 0) ÷ 8 = 0,25 - 2
Riemann sum
8 rectangles × f(xᵢ*) × 0,25 = 2,6563Each rectangle has width Δx and height f(xᵢ*) evaluated at the chosen sample point.
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Ένα άθροισμα Riemann εκτιμά το εμβαδόν κάτω από την f(x) στο [a, b] προσθέτοντας ορθογώνια πλάτους Δx = (b − a)/n. Επιλέξτε σημεία δειγματοληψίας αριστερά, δεξιά ή μέσου σημείου· το άθροισμα Σ f(xi*)·Δx προσεγγίζει το ολοκλήρωμα. Περισσότερα υποδιαστήματα δίνουν στενότερη προσέγγιση, και ο κανόνας του μέσου σημείου είναι συνήθως ο πιο ακριβής.
Τύπος
How this is calculated
Ένα άθροισμα Riemann προσεγγίζει το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη f(x) μεταξύ x = a και x = b διαιρώντας το διάστημα σε n ίσα υποδιαστήματα, καθένα πλάτους Δx = (b − a) / n. Σε κάθε υποδιάστημα επιλέγεται ένα σημείο δειγματοληψίας xi* και το ορθογώνιο ύψους f(xi*) και πλάτους Δx προστίθεται: το άθροισμα Σ f(xi*)·Δx εκτιμά το ορισμένο ολοκλήρωμα.
Ο τύπος σημείου δειγματοληψίας ελέγχει πού κάθε ορθογώνιο αγγίζει την καμπύλη. Τα αριστερά άκρα χρησιμοποιούν xi* = a + i·Δx, τα δεξιά άκρα χρησιμοποιούν xi* = a + (i+1)·Δx, και τα μέσα σημεία χρησιμοποιούν xi* = a + (i + 0.5)·Δx, με το i να τρέχει από 0 έως n−1. Τα αθροίσματα μέσου σημείου είναι συνήθως τα πιο ακριβή από τα τρία για ένα δεδομένο n· τα αριστερά και δεξιά αθροίσματα συστηματικά υπερεκτιμούν ή υποεκτιμούν σε μονότονες συναρτήσεις.
Οι είσοδοι είναι η συνάρτηση (επιλεγμένη από μια λίστα), τα όρια a και b, το πλήθος των υποδιαστημάτων n (θετικός ακέραιος), και ο τύπος δειγματοληψίας. Καθώς το n αυξάνεται το άθροισμα συγκλίνει στο πραγματικό ολοκλήρωμα. Σημειώστε ότι αν a > b το πλάτος Δx είναι αρνητικό, που αντιστρέφει το πρόσημο του αποτελέσματος, και η επιλογή μιας συνάρτησης απροσδιόριστης σε μέρος του διαστήματος (όπως 1/x κατά μήκος του 0 ή √x για αρνητικό x) δεν επιστρέφει αποτέλεσμα.
Συχνές ερωτήσεις
Για σταθερό πλήθος υποδιαστημάτων ο κανόνας του μέσου σημείου είναι γενικά ο πιο ακριβής, αφού οι υπερεκτιμήσεις και οι υποεκτιμήσεις σε κάθε υποδιάστημα τείνουν να αλληλοαναιρούνται. Τα αριστερά και δεξιά αθροίσματα είναι λιγότερο ακριβή αλλά πιο απλά στην κατανόηση.
Καθώς το πλήθος των υποδιαστημάτων n αυξάνεται, τα πλάτη των ορθογωνίων συρρικνώνονται και το άθροισμα Riemann συγκλίνει στην ακριβή τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος ∫ από a έως b της f(x) dx.
Ο υπολογιστής δεν επιστρέφει τίποτα αν το n είναι μικρότερο από 1, αν το a ισούται με το b, ή αν η επιλεγμένη συνάρτηση είναι απροσδιόριστη οπουδήποτε δειγματοληπτείται (για παράδειγμα 1/x στο x = 0 ή √x για αρνητικό x).
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Αθροίσματος Riemann [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/riemann-sum-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Αθροίσματος Riemann." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/riemann-sum-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Αθροίσματος Riemann," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/riemann-sum-calculator
@misc{wecalculate_riemann_sum_calculator, title = {Υπολογιστής Αθροίσματος Riemann}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/riemann-sum-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;