Υπολογιστής Κανόνα Μέσου Σημείου
Εκτιμήστε την τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος αθροίζοντας τα εμβαδά ορθογωνίων των οποίων τα ύψη λαμβάνονται στο μέσο σημείο κάθε υποδιαστήματος.
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0,5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5,25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0,5 × 5,25 = 2,6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Ο κανόνας του μέσου σημείου προσεγγίζει ένα ορισμένο ολοκλήρωμα διαιρώντας το [a, b] σε n ίσες λωρίδες πλάτους Δx = (b − a)/n, αξιολογώντας τη συνάρτηση στο μέσο σημείο κάθε λωρίδας, και αθροίζοντας αυτά τα ύψη επί Δx. Είναι ακριβής για γραμμικές συναρτήσεις και το σφάλμα του μειώνεται σαν 1/n², οπότε μεγαλύτερο n δίνει ακριβέστερες εκτιμήσεις.
Τύπος
How this is calculated
Ο κανόνας του μέσου σημείου είναι μια μέθοδος αθροίσματος Riemann για αριθμητική ολοκλήρωση. Επιλέγετε μια συνάρτηση f(x), το κάτω όριο a, το άνω όριο b, και το πλήθος των ίσων υποδιαστημάτων n. Ο υπολογιστής υπολογίζει πρώτα το κοινό πλάτος Δx = (b − a) / n, χωρίζοντας το [a, b] σε n λωρίδες.
Για κάθε λωρίδα i (από 0 έως n − 1) αξιολογεί τη συνάρτηση στο μέσο σημείο mₚ = a + (i + 0.5)·Δx και αντιμετωπίζει το f(mₚ) ως το ύψος του ορθογωνίου. Πολλαπλασιάζοντας κάθε ύψος με Δx δίνει ένα εμβαδόν ορθογωνίου, και προσθέτοντας όλα τα ορθογώνια δίνει την προσέγγιση Δx · Σ f(mₚ). Η χρήση του μέσου σημείου αντί ενός αριστερού ή δεξιού άκρου τυπικά ακυρώνει την υπερεκτίμηση και την υποεκτίμηση, οπότε ο κανόνας του μέσου σημείου είναι ακριβής για γραμμικές συναρτήσεις και ακριβής δεύτερης τάξης συνολικά.
Τα όρια μπορούν να δοθούν με οποιαδήποτε σειρά, αλλά το ολοκλήρωμα διατηρεί τη σύμβαση προσήμου a → b. Το σφάλμα συρρικνώνεται περίπου σαν 1/n² καθώς αυξάνετε το n, ενώ συναρτήσεις με απότομη καμπυλότητα ή ιδιομορφίες (για παράδειγμα 1/x που διασχίζει το μηδέν) χρειάζονται περισσότερα υποδιαστήματα ή ένα πεδίο ορισμού που αποφεύγει το ιδιάζον σημείο. Οι επιλογές με βάση τη γωνία (sin, cos) χρησιμοποιούν ακτίνια.
Συχνές ερωτήσεις
Η δειγματοληψία στο μέσο σημείο ισορροπεί τα τμήματα του ορθογωνίου που είναι πάνω και κάτω από την καμπύλη, οπότε ο κανόνας του μέσου σημείου είναι ακριβέστερος από το αριστερό ή δεξί άθροισμα Riemann για το ίδιο n και είναι ακριβής για ευθείες γραμμές.
Αυξήστε το πλήθος των υποδιαστημάτων n. Το σφάλμα του κανόνα του μέσου σημείου μειώνεται κατά προσέγγιση ανάλογα με το 1/n², οπότε ο διπλασιασμός του n μειώνει το σφάλμα περίπου κατά παράγοντα τέσσερα.
Ναι. Αν το a είναι μεγαλύτερο από το b το πλάτος Δx γίνεται αρνητικό και η προσέγγιση φέρει το σωστό πρόσημο, ταιριάζοντας με ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Κανόνα Μέσου Σημείου [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Κανόνα Μέσου Σημείου." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Κανόνα Μέσου Σημείου," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/midpoint-rule-calculator
@misc{wecalculate_midpoint_rule_calculator, title = {Υπολογιστής Κανόνα Μέσου Σημείου}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/midpoint-rule-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;