Άλγεβρα και εξισώσεις

Βρείτε το μέσο σημείο μεταξύ δύο σημείων (x₁, y₁) και (x₂, y₂) στο επίπεδο των συντεταγμένων. Δωρεάν υπολογιστής τύπου μέσου σημείου που εμφανίζει τόσο τις συντεταγμένες x όσο και y.

Υπολογίστε το ποσοστιαίο σφάλμα μεταξύ μιας μετρούμενης τιμής και της πραγματικής (αληθούς) τιμής. Δωρεάν υπολογιστής ποσοστιαίου σφάλματος για εργαστήρια επιστημών, χημείας και φυσικής.

Λύστε ορθογώνια τρίγωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Βρείτε την υποτείνουσα από δύο κάθετες πλευρές ή μια κάθετη πλευρά που λείπει από την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά.

Λύστε ax² + bx + c = 0 με τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης — πραγματικές και μιγαδικές ρίζες, καθώς και τη διακρίνουσα.

Βρείτε την κλίση μιας ευθείας μεταξύ δύο σημείων, καθώς και τη γωνία κλίσης και την τεταγμένη στην αρχή. Δωρεάν υπολογιστής κλίσης και ανύψωσης ανά μετατόπιση με την εξίσωση της ευθείας.

Βρείτε τις ιδιοτιμές ενός πίνακα 2x2 από τη χαρακτηριστική του εξίσωση. Εισαγάγετε τα τέσσερα στοιχεία για να λάβετε πραγματικές ή μιγαδικές ρίζες.

Λύστε την |ax+b|=c ως προς x και σχεδιάστε την y=|ax+b| έναντι της y=c για να δείτε τα σημεία τομής.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων με τον τύπο του εσωτερικού γινομένου. Εισαγάγετε τις συνιστώσες για να λάβετε τη γωνία σε μοίρες και ακτίνια.

Βρείτε τον ν-οστό όρο και το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου από τον πρώτο όρο και την κοινή διαφορά.

Αναπτύξτε το (a+b)^n με το διωνυμικό θεώρημα και δείτε όλους τους συντελεστές των όρων.

Βρείτε τον πίνακα συμπαραγόντων και τον προσαρτημένο (adjugate) ενός πίνακα 2x2 ή 3x3. Εισαγάγετε γραμμές αριθμών για να λάβετε και τους δύο πίνακες.

Ξαναγράψτε το ax^2+bx+c σε μορφή κορυφής a(x-h)^2+k και διαβάστε την κορυφή.

Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 2x2 ή 3x3 με τον κανόνα του Cramer χρησιμοποιώντας ορίζουσες. Εισαγάγετε συντελεστές και σταθερούς όρους.

Υπολογίστε το εξωτερικό γινόμενο δύο τρισδιάστατων διανυσμάτων. Εισαγάγετε τρεις συνιστώσες για το καθένα για να λάβετε το κάθετο διάνυσμα και το μέτρο του.

Λύστε την ax^3+bx^2+cx+d=0 για όλες τις πραγματικές και μιγαδικές ρίζες, με τη γραφική παράσταση της κυβικής καμπύλης.

Βρείτε τη σταθερά αναλογίας k και προβλέψτε μια νέα τιμή χρησιμοποιώντας ευθεία ή αντίστροφη αναλογία.

Βρείτε τη διακρίνουσα b^2-4ac μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και δείτε αμέσως πόσες πραγματικές ρίζες έχει.

Υπολογίστε την ευθύγραμμη απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x₁, y₁) και (x₂, y₂) χρησιμοποιώντας τον τύπο της απόστασης που προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Υπολογίστε το εσωτερικό (βαθμωτό) γινόμενο δύο διανυσμάτων ίσου μήκους. Εισαγάγετε τις συνιστώσες χωρισμένες με κενά ή κόμματα.

Παραγοντοποιήστε το ax^2+bx+c σε a(x-r1)(x-r2) χρησιμοποιώντας τις ρίζες του, με πραγματική ή μιγαδική έξοδο.

Συνθέστε δύο γραμμικές συναρτήσεις f και g και υπολογίστε την (f∘g)(x) σε ένα σημείο.

Υπολογίστε τον ν-οστό όρο, το πεπερασμένο άθροισμα και το άπειρο άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου από τον λόγο της.

Εφαρμόστε τις ιδιότητες των δυνάμεων σε δυνάμεις με ίδια βάση: πολλαπλασιάστε, διαιρέστε ή υψώστε σε δύναμη και απλοποιήστε.

Βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας από δύο σημεία — μορφή κλίσης-τεταγμένης (y = mx + b), σημείου-κλίσης και τυπική μορφή, καθώς και την κλίση και τις τεταγμένες, με γράφημα.

Υπολογίστε έναν γραμμικό συνδυασμό c1*v1 + c2*v2 + ... πολλών διανυσμάτων. Εισαγάγετε τα διανύσματα ως γραμμές και τους αντίστοιχους βαθμωτούς συντελεστές.

Λύστε άμεσα οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση της μορφής ax + b = 0 ως προς x. Δωρεάν υπολογιστής γραμμικών εξισώσεων βήμα προς βήμα με διαχείριση ακραίων περιπτώσεων.

Λύστε μια γραμμική ανίσωση μίας μεταβλητής ax+b (</<=/>/>=) c και δείτε την περιοχή λύσης σε μια αριθμογραμμή.

Προσθέστε δύο πίνακες ίδιου μεγέθους στοιχείο προς στοιχείο. Εισαγάγετε κάθε πίνακα ως γραμμές αριθμών χωρισμένων με κενά και λάβετε αμέσως τον προκύπτοντα πίνακα.

Υπολογίστε την ορίζουσα ενός πίνακα 2x2 ή 3x3 που εισάγεται ως γραμμές αριθμών· ανιχνεύει αυτόματα το μέγεθος.

Βρείτε τον αντίστροφο ενός πίνακα 2x2 ή 3x3 χρησιμοποιώντας την ορίζουσα και τον προσαρτημένο. Εισαγάγετε γραμμές αριθμών· πρέπει να είναι μη ιδιόμορφος.

Πολλαπλασιάστε δύο πίνακες χρησιμοποιώντας τον κανόνα γραμμής-επί-στήλης εσωτερικού γινομένου. Εισαγάγετε και τους δύο πίνακες ως γραμμές αριθμών· τα μεγέθη πρέπει να είναι συμβατά.

Υψώστε έναν τετραγωνικό πίνακα σε ακέραια δύναμη. Εισαγάγετε τον πίνακα ως γραμμές αριθμών και έναν εκθέτη για να υπολογίσετε το A εις την n.

Βρείτε τον βαθμό οποιουδήποτε πίνακα χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss. Εισαγάγετε γραμμές αριθμών για να μετρήσετε τις ανεξάρτητες γραμμές (μη μηδενικά οδηγά στοιχεία).

Αφαιρέστε έναν πίνακα από έναν άλλο στοιχείο προς στοιχείο. Εισαγάγετε και τους δύο πίνακες ως γραμμές αριθμών και δείτε τον πίνακα διαφοράς με κάθε βήμα.

Υπολογίστε το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα: το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. Εισαγάγετε τον πίνακα ως γραμμές αριθμών.

Βρείτε τον ανάστροφο οποιουδήποτε πίνακα εναλλάσσοντας γραμμές και στήλες. Εισαγάγετε γραμμές αριθμών χωρισμένων με κενά και λάβετε αμέσως τον ανάστροφο Aᵀ.

Βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση y = ax² + bx + c της παραβολής που διέρχεται από τρία σημεία, καθώς και την κορυφή, τον άξονα συμμετρίας και τη διακρίνουσά της, με γράφημα.

Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες και κάθετες σε μια δεδομένη κλίση και διέρχονται από ένα σημείο, σε μορφή κλίσης-τεταγμένης, με γράφημα.

Αναλύστε το (px+q)/((x-r1)(x-r2)) σε A/(x-r1)+B/(x-r2) για διακριτούς γραμμικούς παράγοντες.

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας από ένα σημείο και μια κλίση χρησιμοποιώντας τη μορφή σημείου-κλίσης y − y₁ = m(x − x₁), και μετά μετατρέψτε σε μορφή κλίσης-τεταγμένης και τυπική μορφή, με γράφημα.

Υπολογίστε την τιμή οποιουδήποτε πολυωνύμου P(x) σε δοθείσα τιμή x με τη μέθοδο Horner, με τη γραφική παράσταση της καμπύλης γύρω από το σημείο.

Λύστε μια αναλογία a/b = c/x ως προς τον άγνωστο x με χιαστί πολλαπλασιασμό. Δωρεάν επιλυτής αναλογιών και λόγων για ισοδύναμα κλάσματα.

Παραθέστε κάθε πιθανή ρητή ρίζα ενός πολυωνύμου από τον σταθερό όρο και τον μεγιστοβάθμιο συντελεστή του.

Ανάγετε οποιονδήποτε πίνακα σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών με απαλοιφή Gauss-Jordan. Εισαγάγετε γραμμές αριθμών για να δείτε την RREF.

Πολλαπλασιάστε έναν πίνακα με έναν αριθμό. Εισαγάγετε τον πίνακα ως γραμμές αριθμών και μια βαθμωτή τιμή για να κλιμακώσετε αμέσως κάθε στοιχείο.

Υπολογίστε το μικτό γινόμενο τριών τρισδιάστατων διανυσμάτων και τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν.

Διαιρέστε ένα πολυώνυμο με το (x-c) χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση για να λάβετε το πηλίκο και το υπόλοιπο.

Λύστε ένα σύστημα 2x2 γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer. Εισαγάγετε τους συντελεστές για να βρείτε άμεσα τα x και y, με ορίζουσα και ανίχνευση ακραίων περιπτώσεων.

Κανονικοποιήστε ένα διάνυσμα σε μήκος 1. Εισαγάγετε τις συνιστώσες και λάβετε το μοναδιαίο διάνυσμα που δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση συν το μέτρο του.

Βρείτε το μέτρο (μήκος/νόρμα) ενός διανύσματος σε οποιαδήποτε διάσταση. Εισαγάγετε τις συνιστώσες χωρισμένες με κενά ή κόμματα για να λάβετε το |v|.

Προβάλετε ένα διάνυσμα πάνω σε ένα άλλο. Εισαγάγετε τα διανύσματα a και b για να λάβετε το διάνυσμα προβολής και τη βαθμωτή προβολή του a πάνω στο b.