Επιλύτης Τριτοβάθμιων Εξισώσεων
Βρείτε κάθε πραγματική και μιγαδική ρίζα οποιασδήποτε τριτοβάθμιας εξίσωσης ax³ + bx² + cx + d = 0 και δείτε τη γραφική παράσταση της καμπύλης.
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Μια τριτοβάθμια ax³ + bx² + cx + d = 0 έχει πάντα τρεις ρίζες. Αυτός ο επιλύτης την ανάγει σε υποβιβασμένη κυβική, ελέγχει τη διακρίνουσα Δ = (q/2)² + (p/3)³, και στη συνέχεια εφαρμόζει τον τύπο του Cardano για μία πραγματική ρίζα ή έναν τριγωνομετρικό τύπο για τρεις πραγματικές ρίζες, παραθέτοντας κάθε ρίζα και σχεδιάζοντας την καμπύλη.
Τύπος
How this is calculated
Εισαγάγετε τους τέσσερις συντελεστές a, b, c και d. Ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής a πρέπει να είναι μη μηδενικός, αλλιώς η εξίσωση δεν είναι τριτοβάθμια και ο υπολογιστής δεν επιστρέφει αποτέλεσμα. Η εξίσωση πρώτα διαιρείται εννοιολογικά με το a και ανάγεται σε μια υποβιβασμένη κυβική t³ + pt + q = 0 με την αντικατάσταση x = t − b/(3a), όπου p = (3ac − b²)/(3a²) και q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
Η φύση των ριζών καθορίζεται από τη διακρίνουσα Δ = (q/2)² + (p/3)³, η οποία είναι ανάλογη του −(4p³ + 27q²). Όταν Δ > 0 υπάρχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, που υπολογίζεται με τον τύπο του Cardano t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), συν ένα συζυγές ζεύγος μιγαδικών ριζών. Όταν Δ ≤ 0 και οι τρεις ρίζες είναι πραγματικές και βρίσκονται με τον ευσταθή τριγωνομετρικό τύπο t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) για k = 0, 1, 2.
Κάθε t μετατοπίζεται πίσω κατά −b/(3a) για να ανακτηθεί το x. Οι μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται ως πραγματικό μέρος συν ή πλην ένα φανταστικό μέρος (…i). Η γραφική παράσταση σχεδιάζει την y = ax³ + bx² + cx + d σε ένα παράθυρο που καλύπτει τις πραγματικές ρίζες, όπου κάθε τομή με τον άξονα x σηματοδοτεί μια πραγματική λύση. Τα αποτελέσματα είναι ακριβή ως προς τη στρογγυλοποίηση κινητής υποδιαστολής· πολύ μεγάλοι λόγοι συντελεστών μπορούν να εισαγάγουν μικρό αριθμητικό σφάλμα.
Συχνές ερωτήσεις
Αν a = 0 ο όρος x³ εξαφανίζεται και η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια (ή χαμηλότερου βαθμού), όχι τριτοβάθμια, οπότε η κυβική μέθοδος δεν εφαρμόζεται. Χρησιμοποιήστε έναν επιλύτη δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Κάθε τριτοβάθμια με πραγματικούς συντελεστές έχει ακριβώς τρεις ρίζες μετρημένες με την πολλαπλότητά τους: είτε τρεις πραγματικές ρίζες, είτε μία πραγματική ρίζα και ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών.
Δ > 0 σημαίνει μία πραγματική και δύο μιγαδικές ρίζες· Δ = 0 σημαίνει μια διπλή πραγματική ρίζα· Δ < 0 σημαίνει τρεις διακριτές πραγματικές ρίζες.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Επιλύτης Τριτοβάθμιων Εξισώσεων [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Επιλύτης Τριτοβάθμιων Εξισώσεων." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Επιλύτης Τριτοβάθμιων Εξισώσεων," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Επιλύτης Τριτοβάθμιων Εξισώσεων}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;