Επιλυτής Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων
Λύστε οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση και δείτε τις ρίζες της και τη διακρίνουσα.
Δύο πραγματικές ρίζες
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Διακρίνουσα
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Τύπος
How this is calculated
Μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη μορφή ax² + bx + c = 0, όπου a, b και c είναι οι αριθμοί που εισάγετε. Ο συντελεστής a πολλαπλασιάζει το x² και δεν πρέπει να είναι μηδέν — αν ήταν, η εξίσωση θα ήταν γραμμική, όχι δευτεροβάθμια. Ο συντελεστής b πολλαπλασιάζει το x, και το c είναι ο αυτόνομος σταθερός όρος. Ο επιλυτής εφαρμόζει τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, ο οποίος δίνει τις ακριβείς τιμές x όπου η παραβολή τέμνει το μηδέν.
Η βασική ποσότητα είναι η διακρίνουσα, D = b² − 4ac, που υπολογίζεται πρώτη. Το πρόσημό της καθορίζει τη φύση των ριζών χωρίς επιπλέον εργασία: D > 0 δίνει δύο διακριτές πραγματικές ρίζες, D = 0 δίνει μία διπλή πραγματική ρίζα (η παραβολή απλώς εφάπτεται στον άξονα x), και D < 0 δίνει ένα ζεύγος μιγαδικών συζυγών ριζών γραμμένων ως re ± im·i.
Οι είσοδοι είναι καθαροί αριθμοί χωρίς μονάδες, οπότε τα αποτελέσματα φέρουν όποιες μονάδες υπονοεί το πρόβλημά σας. Οι υπολογισμοί χρησιμοποιούν τυπική αριθμητική κινητής υποδιαστολής, οπότε πολύ μεγάλοι συντελεστές ή ρίζες εξαιρετικά κοντά μεταξύ τους μπορεί να εμφανίσουν μικροσκοπικές διαφορές στρογγυλοποίησης στις εμφανιζόμενες τιμές.
Παραδείγματα
| Είσοδος | Αποτέλεσμα |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Σχετικά με αυτή την αριθμομηχανή
Ένας επιλύτης δευτεροβάθμιων εξισώσεων βρίσκει τις τιμές του x που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής ax^2 + bx + c = 0, όπου a, b και c είναι σταθερές και το a δεν είναι μηδέν. Αυτές οι λύσεις ονομάζονται ρίζες της εξίσωσης και γραφικά είναι τα σημεία όπου η παραβολή y = ax^2 + bx + c τέμνει τον οριζόντιο άξονα.
Ο επιλύτης εφαρμόζει τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, x = (-b συν ή πλην την τετραγωνική ρίζα του (b^2 - 4ac)) διαιρεμένο με 2a. Η έκφραση κάτω από την τετραγωνική ρίζα, b^2 - 4ac, ονομάζεται διακρίνουσα και καθορίζει τη φύση των ριζών πριν καν ολοκληρώσετε τον υπολογισμό. Αν η διακρίνουσα είναι θετική υπάρχουν δύο διακριτές πραγματικές ρίζες, αν είναι ακριβώς μηδέν υπάρχει μία επαναλαμβανόμενη πραγματική ρίζα, και αν είναι αρνητική υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες που περιλαμβάνουν τη φανταστική μονάδα i.
Για να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο, εισαγάγετε τους τρεις συντελεστές a, b και c ακριβώς όπως εμφανίζονται στην εξίσωσή σας, συμπεριλαμβανομένων τυχόν αρνητικών προσήμων. Ο επιλύτης αναφέρει τη διακρίνουσα, σας λέει πόσες πραγματικές ή μιγαδικές ρίζες υπάρχουν και έπειτα δίνει τις ίδιες τις ρίζες. Η εμφάνιση της διακρίνουσας πρώτα σας επιτρέπει να κατανοήσετε το αποτέλεσμα αντί να διαβάσετε απλώς έναν αριθμό.
Η ερμηνεία του αποτελέσματος έχει να κάνει με την αντιστοίχιση των ριζών στη διακρίνουσα. Δύο πραγματικές ρίζες σημαίνουν ότι η παραβολή τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία· μία επαναλαμβανόμενη ρίζα σημαίνει ότι απλώς εφάπτεται στον άξονα στην κορυφή της· και οι μιγαδικές ρίζες σημαίνουν ότι η παραβολή δεν φτάνει ποτέ στον άξονα. Μπορείτε πάντα να επαληθεύσετε μια πραγματική ρίζα αντικαθιστώντας την ξανά στην αρχική εξίσωση, η οποία θα πρέπει να επιστρέφει μηδέν.
Τα συνηθισμένα λάθη περιλαμβάνουν την εισαγωγή του a ως μηδέν, που δεν είναι καθόλου δευτεροβάθμια εξίσωση αλλά μια γραμμική, και την παράλειψη ενός αρνητικού προσήμου κατά τη μεταγραφή των συντελεστών, που αλλάζει σιωπηλά την απάντηση. Οι άνθρωποι επίσης μερικές φορές ξεχνούν ότι η αφαίρεση μέσα στον τύπο μπορεί να αναστρέψει πρόσημα και ότι μια αρνητική διακρίνουσα δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει λύση, αλλά μόνο ότι οι λύσεις είναι μιγαδικές αντί για πραγματικές.
Συχνές ερωτήσεις
Η διακρίνουσα είναι b^2 - 4ac, το μέρος κάτω από την τετραγωνική ρίζα στον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Σας λέει τη φύση των ριζών: θετική σημαίνει δύο διακριτές πραγματικές ρίζες, μηδέν σημαίνει μία επαναλαμβανόμενη πραγματική ρίζα και αρνητική σημαίνει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες.
Τότε δεν πρόκειται καθόλου για δευτεροβάθμια εξίσωση αλλά για μια γραμμική, bx + c = 0, με μία μόνο λύση x = -c/b. Μια γνήσια δευτεροβάθμια εξίσωση απαιτεί το a να είναι μη μηδενικό, αλλιώς ο όρος x^2 εξαφανίζεται και ο τύπος της δευτεροβάθμιας δεν μπορεί να εφαρμοστεί.
Ναι, όταν η διακρίνουσα ισούται ακριβώς με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση ο τύπος δίνει μία επαναλαμβανόμενη ρίζα x = -b/(2a), και γραφικά η παραβολή απλώς εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα στην κορυφή της αντί να τον τέμνει.
Σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις αλλά δύο μιγαδικές, που γράφονται ως συζυγείς της μορφής p συν ή πλην qi. Η παραβολή δεν τέμνει ποτέ τον οριζόντιο άξονα, αλλά οι ρίζες εξακολουθούν να υπάρχουν εντός του συστήματος των μιγαδικών αριθμών.
Αντικαταστήστε την ξανά στην αρχική εξίσωση ax^2 + bx + c. Αν η τιμή είναι μια πραγματική ρίζα, η έκφραση θα πρέπει να υπολογίζεται σε μηδέν (ή εξαιρετικά κοντά σε αυτό, λαμβάνοντας υπόψη τη στρογγυλοποίηση). Αυτό λειτουργεί και για τις δύο πραγματικές ρίζες.
Για την ax^2 + bx + c = 0, οι δύο ρίζες αθροίζονται σε -b/a και πολλαπλασιάζονται σε c/a. Αυτές οι σχέσεις, γνωστές ως τύποι του Vieta, δίνουν έναν γρήγορο τρόπο για να ελέγξετε τη λογική του αποτελέσματος του επιλύτη χωρίς να ξανακάνετε ολόκληρο τον υπολογισμό.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Επιλυτής Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Επιλυτής Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Επιλυτής Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Επιλυτής Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;