Υπολογιστής Διωνυμικού Αναπτύγματος
Αναπτύξτε οποιοδήποτε διώνυμο (a + b)^n όρο προς όρο και διαβάστε κάθε διωνυμικό συντελεστή.
- 1
Base sum a + b
1 + 2 = 3 - 2
Number of terms n + 1
4 + 1 = 5 - 3
Total (a + b)ⁿ — sum of all binomial terms
81The binomial theorem guarantees this equals the sum of all C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ terms.
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Το διωνυμικό θεώρημα αναπτύσσει το (a + b)^n σε n+1 όρους, καθένας ίσος με C(n,k)·a^(n-k)·b^k για k = 0…n. Οι συντελεστές C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) είναι τα στοιχεία του τριγώνου του Πασκάλ. Αυτό το εργαλείο παραθέτει κάθε όρο, τον συντελεστή του και την τιμή του, και επαληθεύει ότι οι όροι αθροίζουν στο (a + b)^n.
Τύπος
How this is calculated
Το διωνυμικό θεώρημα αναπτύσσει τη δύναμη ενός αθροίσματος (a + b)^n σε ένα άθροισμα n+1 όρων. Ο k-οστός όρος (για k = 0, 1, …, n) είναι C(n,k)·a^(n-k)·b^k, όπου ο διωνυμικός συντελεστής C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) μετρά με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν k αντικείμενα από n. Εισαγάγετε τον πρώτο όρο a, τον δεύτερο όρο b, και τον εκθέτη n.
Οι συντελεστές C(n,k) σχηματίζουν την n-οστή γραμμή του τριγώνου του Πασκάλ και είναι συμμετρικοί: C(n,k) = C(n,n-k). Υπολογίζονται εδώ με τον πολλαπλασιαστικό τύπο C(n,k) = Π[i=1..k] (n-k+i)/i, ο οποίος αποφεύγει τον άμεσο σχηματισμό μεγάλων παραγοντικών και διατηρεί τους ακέραιους συντελεστές ακριβείς. Κάθε όρος εξόδου δείχνει τον συντελεστή του, τη συμβολική μορφή του και την αριθμητική του τιμή για τα δοθέντα a και b· οι οριζόντιες μπάρες συγκρίνουν το μέτρο |τιμή| κάθε όρου.
Ο εκθέτης πρέπει να είναι μη αρνητικός ακέραιος (εδώ περιορισμένος στο 0–60 ώστε οι αριθμοί να παραμένουν πεπερασμένοι). Το άθροισμα όλων των αριθμητικών όρων ισούται ακριβώς με (a + b)^n, που λειτουργεί ως ενσωματωμένος έλεγχος. Οι όροι μπορεί να είναι αρνητικοί όταν το a ή το b είναι αρνητικό, οπότε οι μπάρες χρησιμοποιούν την απόλυτη τιμή ενώ η εμφανιζόμενη ετικέτα διατηρεί το προσημασμένο ποσό.
Συχνές ερωτήσεις
Δηλώνει ότι (a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k για k από 0 έως n. Μετατρέπει τη δύναμη ενός διωνυμικού αθροίσματος σε ένα ρητό άθροισμα n+1 όρων των οποίων οι συντελεστές είναι οι διωνυμικοί συντελεστές.
Οι συντελεστές C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) είναι ακριβώς τα στοιχεία της γραμμής n του τριγώνου του Πασκάλ. Κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα των δύο στοιχείων από πάνω του, και η γραμμή είναι συμμετρική.
Το πεπερασμένο διωνυμικό θεώρημα που χρησιμοποιείται εδώ απαιτεί το n να είναι μη αρνητικός ακέραιος. Αρνητικοί ή κλασματικοί εκθέτες δίνουν μια άπειρη σειρά αντί για ένα πεπερασμένο ανάπτυγμα, που αυτός ο υπολογιστής δεν παράγει.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Διωνυμικού Αναπτύγματος [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/binomial-expansion-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Διωνυμικού Αναπτύγματος." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/binomial-expansion-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Διωνυμικού Αναπτύγματος," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/binomial-expansion-calculator
@misc{wecalculate_binomial_expansion_calculator, title = {Υπολογιστής Διωνυμικού Αναπτύγματος}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/binomial-expansion-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;