Υπολογιστής Μικτού Γινομένου
Υπολογίστε το a·(b×c) για τρία τρισδιάστατα διανύσματα και τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που ορίζουν.
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Το μικτό γινόμενο a·(b×c) πολλαπλασιάζει το διάνυσμα a με το εξωτερικό γινόμενο των b και c, δίνοντας έναν μόνο αριθμό ίσο με την ορίζουσα det[a; b; c]. Η απόλυτη τιμή του είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα τρία διανύσματα, και το πρόσημό του αποκαλύπτει τον προσανατολισμό τους· μηδέν σημαίνει ότι είναι συνεπίπεδα.
Τύπος
How this is calculated
Εισαγάγετε τρία τρισδιάστατα διανύσματα a, b και c, καθένα ως τρεις συνιστώσες χωρισμένες με κόμματα ή κενά. Ο υπολογιστής σχηματίζει πρώτα το εξωτερικό γινόμενο b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁), ένα διάνυσμα κάθετο και στα b και c του οποίου το μέτρο ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν.
Το μικτό γινόμενο είναι τότε το εσωτερικό γινόμενο a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Αυτός ο μόνος αριθμός είναι ταυτόσημος με την ορίζουσα του πίνακα 3×3 του οποίου οι γραμμές (ή στήλες) είναι τα a, b και c, οπότε είναι συμμετρικός υπό κυκλική μετάθεση: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).
Γεωμετρικά η απόλυτη τιμή |a·(b×c)| είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου με ακμές a, b και c. Το πρόσημο υποδεικνύει τον προσανατολισμό: θετικό για μια δεξιόστροφη τριάδα, αρνητικό για αριστερόστροφη. Ένα αποτέλεσμα μηδέν σημαίνει ότι τα τρία διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα (συνεπίπεδα) και το παραλληλεπίπεδο είναι επίπεδο με μηδενικό όγκο. Όλες οι είσοδοι πρέπει να έχουν ακριβώς τρεις αριθμητικές συνιστώσες· η έξοδος φέρει τις ίδιες μονάδες των εισόδων στον κύβο.
Συχνές ερωτήσεις
Σημαίνει ότι τα τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα (γραμμικά εξαρτημένα), οπότε το παραλληλεπίπεδο που σχηματίζουν είναι εκφυλισμένο και έχει μηδενικό όγκο.
Το μικτό γινόμενο είναι προσημασμένο. Μια θετική τιμή υποδεικνύει δεξιόστροφο προσανατολισμό των a, b, c· μια αρνητική τιμή υποδεικνύει αριστερόστροφο προσανατολισμό. Ο όγκος είναι η απόλυτη τιμή.
Ναι. Το μικτό γινόμενο ισούται με την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται τοποθετώντας τα τρία διανύσματα ως γραμμές του (ή στήλες).
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Μικτού Γινομένου [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Μικτού Γινομένου." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Μικτού Γινομένου," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/scalar-triple-product-calculator
@misc{wecalculate_scalar_triple_product_calculator, title = {Υπολογιστής Μικτού Γινομένου}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/scalar-triple-product-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;