硬幣翻轉概率計算器
計算翻轉硬幣固定次數時，恰好、至少或至多出現選定次數正面的二項概率。
Binomial chance of getting precisely this many heads
- 1
Combinations C(n, k)
10! ÷ (6! × 4!) = 210Number of ways to choose which flips land heads. - 2
Heads factor p^k
0.5⁶ = 0.015625 - 3
Tails factor (1−p)^(n−k)
0.5⁴ = 0.0625 - 4
P(X = k) as percentage
(210 × 0.015625 × 0.0625) × 100 = 20.5078Multiplied by 100 to express as a percentage.
此計算機如何運作？
對於 n 次硬幣翻轉，每次出現正面的概率為 p，恰好出現 k 次正面的概率為 C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n − k)。對「至少」求和（i = k..n）或對「至多」求和（i = 0..k）。正面的期望次數為 n·p，標準差為 sqrt(n·p·(1 − p))。
公式
How this is calculated
每次硬幣翻轉都是獨立的伯努利試驗，出現正面的概率為 p（公平硬幣 p = 0.5）。n 次翻轉中正面次數 X 服從二項分佈。恰好出現 k 次正面的概率為 C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)，其中 C(n, k) 計算在 n 次翻轉中選 k 次為正面的方式數。
累積結果是各概率的求和：P(X ≥ k) 累加從 i = k 到 n 的概率質量，P(X ≤ k) 累加從 i = 0 到 k 的概率質量。分佈的均值（正面的期望次數）為 n·p，標準差為 sqrt(n·p·(1 − p))，衡量圍繞均值的典型離散程度。
輸入必須滿足 0 ≤ k ≤ n 且 0 ≤ p ≤ 1；否則結果未定義。為避免大階乘引起的溢位，計算器通過對數伽馬函數（對數之和）計算二項式係數，最後取指數。PMF 圖顯示從 0 到 n 次正面的每種可能結果的概率。
常見問題
取 n = 10，k = 5，p = 0.5，P(X = 5) = C(10, 5)·0.5^10 ≈ 24.6%，這是公平硬幣最可能出現的單一結果。
將 p 設定為硬幣出現正面的真實概率。例如，p = 0.6 表示每次翻轉有 60% 的概率出現正面；均值移動到 0.6·n，整個分佈向更多正面傾斜。
P(X = k) 是恰好出現 k 次正面的概率，而 P(X ≥ k) 是出現 k 次、k+1 次……直到 n 次正面的概率之和。「至少」始終大於或等於「恰好」。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 硬幣翻轉概率計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability
TG we-Calculate Editorial Team. "硬幣翻轉概率計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability.
TG we-Calculate Editorial Team, "硬幣翻轉概率計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability
@misc{wecalculate_coin_flip_probability, title = {硬幣翻轉概率計算器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
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