硬幣投擲機率計算機
計算一系列投擲中出現指定次數正面的機率，適用於公平或有偏的硬幣。
眾數
Chance of exactly k heads
- 1
P(head)^k
0.5^5 = 0.03125 - 2
P(tail)^(n−k)
0.5^(10 − 5) = 0.03125 - 3
Binomial coefficient C(n, k)
10! ÷ (5! × 5!) = 252Number of ways to choose k heads from n flips. - 4
P(X = k)
252 × 0.03125 × 0.03125 = 24.6094%
此計算機如何運作？
n 次投擲中 k 次正面的機率為 C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)，其中 p 是正面朝上的機率（公平硬幣為 0.5）。選擇恰好、至少或至多 k 次來累加二項機率，並預期平均 n·p 次正面。
公式
How this is calculated
每次投擲是一個獨立的伯努利試驗，出現正面的機率為 p（公平硬幣的 p = 0.5）。n 次投擲中正面次數 X 服從二項分佈，因此恰好 k 次正面的機率為 P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)，其中 C(n, k) 是二項式係數「n 選 k」。輸入投擲次數 n、目標正面次數 k、每次投擲正面的機率 p 及模式。
「恰好」模式回傳 P(X = k)；「至少」模式累加 k, k+1, …, n 的機率質量；「至多」模式從 0 累加到 k。一個實用的捷徑是 P(至少 1 次正面) = 1 − (1 − p)^n。正面次數的期望值（平均值）為 n·p，變異數為 n·p·(1 − p)。長條圖顯示完整的機率質量函數，所選模式涵蓋的長條以突出顯示。
輸入必須滿足 n ≥ 1、0 ≤ k ≤ n 且 0 ≤ p ≤ 1；否則不顯示任何結果。機率以數值穩定的遞推方式計算，因此較大的 n 仍能保持準確。當 p = 0 時，硬幣永遠不會出現正面（所有質量集中在 0），當 p = 1 時，硬幣永遠出現正面（所有質量集中在 n）。
常見問題
為 C(10, 5) · 0.5^10 = 252/1024 ≈ 24.6%，是公平硬幣投擲 10 次中最可能出現的單一結果。
將 P(正面) 設定為硬幣的真實正面機率，例如 0.6 代表該硬幣 60% 的時間正面朝上。二項公式直接使用此 p 值。
使用「至少」模式，設 k = 1，或計算 1 − (1 − p)^n。對於公平硬幣且 n = 3 次投擲，結果為 1 − 0.5^3 = 87.5%。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 硬幣投擲機率計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "硬幣投擲機率計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "硬幣投擲機率計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/coin-flip-probability-calculator
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