二項機率計算機
計算 n 次獨立伯努利試驗中恰好、至多或至少 k 次成功的機率，以及分佈的平均值和變異數。
眾數
Probability of the selected outcome
- 1
Binomial coefficient C(n, k)
C(10, 3) = 120Number of ways to arrange k successes among n trials. - 2
pᵏ
0.5 ^ 3 = 0.125 - 3
(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
0.5 ^ 7 = 0.007813 - 4
P(X = k)
120 × 0.125 × 0.007813 = 0.1172
此計算機如何運作？
二項機率為 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ，表示在 n 次獨立試驗、每次成功機率為 p 的情況下，恰好 k 次成功的機率。使用累積和可計算至多或至少 k 次的情況。分佈的平均值為 np，變異數為 np(1 − p)，標準差為 √(np(1 − p))。
公式
How this is calculated
二項分佈模擬 n 次獨立試驗中成功次數 X 的情況，每次試驗的成功機率為 p。輸入 n（試驗次數）、k（感興趣的成功次數）及 p（每次試驗的成功機率，介於 0 到 1 之間）。點機率為 P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ，其中 C(n, k) 是二項式係數「n 選 k」。
模式選擇器決定回報哪種結果。「恰好」回傳單點機率 P(X = k)；「至多」回傳累積機率 P(X ≤ k) = Σ P(X = i)（i 從 0 到 k）；「至少」回傳 P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)。二項式係數以迭代乘積迴圈計算（乘以 n − i 並除以 i + 1），因此大型階乘不會溢位。
分佈摘要使用平均值 μ = np、變異數 σ² = np(1 − p) 及標準差 σ = √(σ²)。輸入必須滿足 n ≥ 0 且為整數、0 ≤ k ≤ n 且為整數，以及 0 ≤ p ≤ 1，否則結果無定義。長條圖顯示 k 周圍範圍內 X 值的機率質量，讓您看出 k 在分佈中的位置。
常見問題
「恰好 k 次」是精確 k 次成功的機率；「至多 k 次」是 0 到 k 次成功的機率總和；「至少 k 次」是 k 到 n 次成功的機率總和，計算方式為 1 − P(X ≤ k − 1)。
必須有固定的試驗次數 n，每次試驗彼此獨立，只有兩種結果（成功/失敗），且所有試驗的成功機率 p 恆定。
平均值 np 代表預期成功次數，而變異數 np(1 − p) 和標準差則衡量實際次數通常偏離該平均值的程度。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 二項機率計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/binomial-probability-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "二項機率計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/binomial-probability-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "二項機率計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/binomial-probability-calculator
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