Калкулатор за околна повърхнина на ротационно тяло
Изчислете повърхнината, описана при завъртане на графиката на f(x) на пълен оборот около оста x върху интервала [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 до 1
Как работи този калкулатор?
Повърхнината на ротация около оста x е S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Този инструмент диференцира f числено с централна разлика и интегрира със съставното правило на Симпсън върху 1000 панела, връщайки описаната повърхнина за избраната от вас функция и граници a и b.
Формула
How this is calculated
Изберете функция f(x) и границите на интегриране a и b. Когато завъртите кривата y = f(x) около оста x, всяка точка описва окръжност с радиус |f(x)|, а безкрайно малка дължина на дъга ds = √(1 + f′(x)²) dx описва тънък пресечен конус с околна повърхнина 2π·|f(x)|·ds. Интегрирането дава общата повърхнина S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Производната f′(x) се оценява числено със симетрична централна разлика, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) с h = 1e-6, която е точна до втори ред. Определеният интеграл след това се изчислява със съставното правило на Симпсън върху n = 1000 подинтервала, което има грешка O(h⁴) и обработва гладки подинтегрални функции много прецизно. Ако въведете a > b, границите се разменят, така че площта остава положителна.
Абсолютната стойност |f(x)| гарантира, че радиусът е неотрицателен дори там, където f слиза под оста. Резултатите предполагат, че f е непрекъсната и диференцируема върху [a, b]; остри ъгли или вертикални допирателни (например √x при x = 0) могат леко да намалят точността. Единиците на резултата са квадратът на единиците, използвани за x и f.
Често задавани въпроси
Ако f(x) = 0 по целия интервал (например sin(x), завъртяна върху симетрична област), радиусът е нула, така че не се генерира повърхнина. Изберете граници, при които |f(x)| е положителна.
Този калкулатор завърта кривата около оста x. За ротация около оста y вместо това бихте интегрирали 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx.
Съставното правило на Симпсън с 1000 панела плюс производна чрез централна разлика от висок ред дава много правилни цифри за гладки функции; очаквайте малки грешки само близо до особености или вертикални допирателни.
Известен също като
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калкулатор за околна повърхнина на ротационно тяло [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/bg/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калкулатор за околна повърхнина на ротационно тяло." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/bg/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калкулатор за околна повърхнина на ротационно тяло," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/bg/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
@misc{wecalculate_surface_area_of_revolution_calculator, title = {Калкулатор за околна повърхнина на ротационно тяло}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/bg/calculator/surface-area-of-revolution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Помогна ли ви този калкулатор?