Riemann-Summen-Rechner
Nähere das bestimmte Integral einer Funktion an, indem du die Flächen von Rechtecken über einem Intervall summierst.
Function f(x)
Sample point
Approximate area under the curve
- 1
Subinterval width (Δx)
(2 − 0) ÷ 8 = 0,25 - 2
Riemann sum
8 rectangles × f(xᵢ*) × 0,25 = 2,6563Each rectangle has width Δx and height f(xᵢ*) evaluated at the chosen sample point.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Eine Riemann-Summe schätzt die Fläche unter f(x) auf [a, b], indem Rechtecke der Breite Δx = (b − a)/n addiert werden. Wähle linke, rechte oder Mittelpunkt-Stützstellen; die Summe Σ f(xi*)·Δx nähert das Integral an. Mehr Teilintervalle ergeben eine bessere Näherung, und die Mittelpunktsregel ist meist die genaueste.
Formel
How this is calculated
Eine Riemann-Summe nähert die Fläche unter einer Kurve f(x) zwischen x = a und x = b an, indem das Intervall in n gleiche Teilintervalle der Breite Δx = (b − a) / n geteilt wird. Auf jedem Teilintervall wird eine Stützstelle xi* gewählt und das Rechteck der Höhe f(xi*) und Breite Δx aufaddiert: die Summe Σ f(xi*)·Δx schätzt das bestimmte Integral.
Der Stützstellentyp steuert, wo jedes Rechteck die Kurve berührt. Linke Endpunkte verwenden xi* = a + i·Δx, rechte Endpunkte verwenden xi* = a + (i+1)·Δx, und Mittelpunkte verwenden xi* = a + (i + 0.5)·Δx, wobei i von 0 bis n−1 läuft. Mittelpunktsummen sind für ein gegebenes n meist die genauesten der drei; linke und rechte Summen über- oder unterschätzen bei monotonen Funktionen systematisch.
Die Eingaben sind die Funktion (aus einer Liste gewählt), die Grenzen a und b, die Anzahl der Teilintervalle n (eine positive Ganzzahl) und der Stützstellentyp. Wenn n zunimmt, konvergiert die Summe gegen das wahre Integral. Beachte, dass bei a > b die Breite Δx negativ ist, was das Vorzeichen des Ergebnisses umkehrt, und das Wählen einer Funktion, die auf einem Teil des Intervalls undefiniert ist (wie 1/x über null oder √x für negatives x), kein Ergebnis liefert.
Häufige Fragen
Für eine feste Anzahl von Teilintervallen ist die Mittelpunktsregel im Allgemeinen die genaueste, da sich Über- und Unterschätzungen auf jedem Teilintervall tendenziell aufheben. Linke und rechte Summen sind weniger genau, aber einfacher zu durchdenken.
Wenn die Anzahl der Teilintervalle n zunimmt, schrumpfen die Rechteckbreiten und die Riemann-Summe konvergiert gegen den exakten Wert des bestimmten Integrals ∫ von a bis b von f(x) dx.
Der Rechner liefert nichts, wenn n kleiner als 1 ist, wenn a gleich b ist oder wenn die gewählte Funktion irgendwo, wo sie abgetastet wird, undefiniert ist (zum Beispiel 1/x bei x = 0 oder √x für negatives x).
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Riemann-Summen-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/riemann-sum-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Riemann-Summen-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/riemann-sum-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Riemann-Summen-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/riemann-sum-calculator
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