Mittelpunktsregel-Rechner
Schätze den Wert eines bestimmten Integrals, indem du die Flächen von Rechtecken summierst, deren Höhen am Mittelpunkt jedes Teilintervalls genommen werden.
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0,5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5,25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0,5 × 5,25 = 2,6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die Mittelpunktsregel nähert ein bestimmtes Integral an, indem sie [a, b] in n gleiche Streifen der Breite Δx = (b − a)/n teilt, die Funktion am Mittelpunkt jedes Streifens auswertet und diese Höhen mal Δx summiert. Sie ist für lineare Funktionen exakt und ihr Fehler fällt wie 1/n², sodass größeres n schärfere Schätzungen liefert.
Formel
How this is calculated
Die Mittelpunktsregel ist ein Riemann-Summen-Verfahren zur numerischen Integration. Du wählst eine Funktion f(x), die untere Grenze a, die obere Grenze b und die Anzahl der gleichen Teilintervalle n. Der Rechner berechnet zuerst die gemeinsame Breite Δx = (b − a) / n und teilt [a, b] in n Streifen.
Für jeden Streifen i (von 0 bis n − 1) wertet er die Funktion am Mittelpunkt mₚ = a + (i + 0.5)·Δx aus und behandelt f(mₚ) als Rechteckhöhe. Das Multiplizieren jeder Höhe mit Δx ergibt eine Rechteckfläche, und das Addieren aller Rechtecke liefert die Näherung Δx · Σ f(mₚ). Die Verwendung des Mittelpunkts statt eines linken oder rechten Endpunkts hebt typischerweise Über- und Unterschätzung auf, sodass die Mittelpunktsregel für lineare Funktionen exakt und insgesamt von zweiter Ordnung genau ist.
Die Grenzen dürfen in beliebiger Reihenfolge angegeben werden, aber das Integral behält die Vorzeichenkonvention von a → b. Der Fehler schrumpft etwa wie 1/n², wenn du n erhöhst, während Funktionen mit scharfer Krümmung oder Singularitäten (zum Beispiel 1/x über null) mehr Teilintervalle oder einen Definitionsbereich benötigen, der den singulären Punkt vermeidet. Die winkelbasierten Optionen (sin, cos) verwenden das Bogenmaß.
Häufige Fragen
Das Abtasten am Mittelpunkt gleicht die Teile des Rechtecks aus, die über und unter der Kurve liegen, sodass die Mittelpunktsregel bei gleichem n genauer als die linke oder rechte Riemann-Summe und für Geraden exakt ist.
Erhöhe die Anzahl der Teilintervalle n. Der Fehler der Mittelpunktsregel nimmt etwa proportional zu 1/n² ab, sodass eine Verdopplung von n den Fehler um etwa den Faktor vier verringert.
Ja. Ist a größer als b, wird die Breite Δx negativ und die Näherung trägt das richtige Vorzeichen, passend zu ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Mittelpunktsregel-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Mittelpunktsregel-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Mittelpunktsregel-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/midpoint-rule-calculator
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