Simpson-Regel-Rechner
Die Simpson-Regel schätzt ein bestimmtes Integral, indem sie Parabeln durch Paare von Teilintervallen legt, was für glatte Funktionen weit bessere Genauigkeit als die Trapezregel liefert.
Function f(x)
Simpson estimate of the area under the curve
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die Simpson-Regel nähert ∫ₐᵇ f(x) dx als (Δx/3)[f(x₀) + 4·Σ ungerade + 2·Σ gerade + f(xₙ)] mit Δx = (b − a)/n und geradem n an. Durch das Legen von Parabeln ist sie für kubische Funktionen exakt und hat einen Δx⁴-Fehler, sodass sie für glatte Funktionen die Trapezregel übertrifft.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f(x), die untere Grenze a, die obere Grenze b und die Anzahl der Teilintervalle n. Die Simpson-Regel erfordert ein gerades n, da sie das Intervall in Paare von Streifen gruppiert, von denen jeder durch eine Parabel überdeckt wird; gibst du ein ungerades n ein, erhöht der Rechner es auf den nächsten geraden Wert.
Das Intervall [a, b] wird in n gleiche Teile der Breite Δx = (b − a)/n geteilt, was die Stützstellen xᵢ = a + i·Δx für i = 0…n liefert. Das Integral wird durch (Δx/3) mal die gewichtete Summe f(x₀) + f(xₙ) plus dem 4-fachen jedes ungerade indizierten inneren Punkts und dem 2-fachen jedes gerade indizierten inneren Punkts angenähert. Die 4-2-4-2-Gewichtung reproduziert das exakte Integral der Parabel durch jedes Punktetripel.
Die Simpson-Regel ist für Polynome bis zum Grad drei exakt und ihr Fehler schrumpft wie Δx⁴, sodass eine Verdopplung von n den Fehler etwa sechzehnfach verringert. Die Ergebnisse setzen voraus, dass f auf [a, b] stetig ist; Singularitäten wie 1/x bei x = 0 oder ln(x) bei x ≤ 0 erzeugen nicht endliche Stützstellen und kein Ergebnis. Die Grenzen dürfen in beliebiger Reihenfolge angegeben werden.
Häufige Fragen
Die Simpson-Regel legt eine Parabel über jedes Paar benachbarter Teilintervalle, sodass die Anzahl der Teilintervalle durch zwei teilbar sein muss. Ein ungerades n wird automatisch auf die nächste gerade Zahl aufgerundet.
Sie ist für kubische und niedergradigere Polynome exakt und ihr Fehler ist proportional zu Δx⁴, was sie bei gleicher Punktanzahl weit genauer als die Trapez- oder Mittelpunktsregel macht.
Erzeugt eine Stützstelle einen nicht endlichen Wert (zum Beispiel 1/x bei x = 0), wird keine Näherung zurückgegeben. Wähle ein Intervall, in dem die Funktion stetig ist.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Simpson-Regel-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/simpsons-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Simpson-Regel-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/simpsons-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Simpson-Regel-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/simpsons-rule-calculator
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