Rechner für bestimmte Integrale
Berechne das exakte bestimmte Integral einer gängigen Funktion über einem Intervall [a, b] mithilfe ihrer geschlossenen Stammfunktion.
Function f(x)
Signed area under the curve from a to b
- 1
Antiderivative at b
F(2) = 2,666667Antiderivative of x² evaluated at the upper limit. - 2
Antiderivative at a
F(0) = 0 - 3
Definite integral F(b) − F(a)
2,666667 − 0 = 2,666667
Wie funktioniert dieser Rechner?
Ein bestimmtes Integral entspricht F(b) − F(a), wobei F die Stammfunktion von f ist. Wähle eine Funktion, gib die Grenzen a und b ein, und dieses Werkzeug wendet die exakte Stammfunktion an, um die vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kurve zurückzugeben — keine numerische Näherung, sodass das Ergebnis innerhalb der Gleitkommagrenzen exakt ist.
Formel
How this is calculated
Wähle den Integranden f(x) aus der Liste und gib die untere Grenze a sowie die obere Grenze b ein. Der Rechner schlägt die exakte Stammfunktion F(x) für die gewählte Funktion nach — zum Beispiel integriert x² zu x³/3, sin x zu −cos x, eˣ zu eˣ, ln x zu x·ln x − x, 1/x zu ln|x| und √x zu (2/3)x^1.5 — und wendet dann den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.
Der Hauptsatz besagt, dass das bestimmte Integral der Nettoänderung der Stammfunktion über das Intervall entspricht, F(b) − F(a). Dies ergibt die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Bereiche unterhalb der Achse werden von der Gesamtsumme abgezogen. Da exakte Stammfunktionen verwendet werden (keine numerische Näherung), trägt das Ergebnis keinen Diskretisierungsfehler. Die Winkel für sin x und cos x sind im Bogenmaß.
Einige Integranden haben Einschränkungen des Definitionsbereichs. ln x und √x sind nur für x > 0 definiert, sodass beide Grenzen positiv sein müssen. Die Stammfunktion ln|x| für 1/x ist nur auf einem Intervall gültig, das null nicht enthält oder überschreitet, da die Funktion bei x = 0 eine Singularität hat. Wenn die Eingaben diese Bedingungen verletzen, meldet der Rechner, dass gültige Werte erforderlich sind, statt eine sinnlose Zahl zurückzugeben.
Häufige Fragen
Ja. Das Umkehren der Grenzen kehrt das Vorzeichen um: ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦᵃ f dx, da F(b) − F(a) zu −(F(a) − F(b)) wird.
Im Bogenmaß. Um über einen Gradbereich zu integrieren, rechne die Grenzen zuerst in Bogenmaß um (multipliziere mit π/180).
Die Funktion 1/x ist bei x = 0 undefiniert und das Integral divergiert dort, sodass die Stammfunktion ln|x| nur auf Intervallen gilt, die vollständig auf einer Seite der Null bleiben.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für bestimmte Integrale [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/definite-integral-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für bestimmte Integrale." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/definite-integral-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für bestimmte Integrale," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/definite-integral-calculator
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