Rechner für die Fläche unter einer Kurve

Formel

How this is calculated

Wähle eine Funktion f(x) aus der Liste und gib die untere Grenze a sowie die obere Grenze b ein. Der Rechner nähert das bestimmte Integral ∫_a^b f(x) dx an, das die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse über [a, b] darstellt.

Die Integration verwendet die zusammengesetzte Simpson-Regel mit n = 1000 geraden Teilintervallen. Die Schrittweite ist Δx = (b − a)/n, und die Regel gewichtet die Endpunkte einfach, ungerade indizierte innere Stützstellen mit 4 und gerade indizierte innere Stützstellen mit 2, und multipliziert die Summe anschließend mit Δx/3. Die Simpson-Regel legt Parabeln durch Paare von Teilintervallen und liefert eine Genauigkeit vierter Ordnung, die für glatte Kurven weit besser ist als die einfache Rechteck- oder Trapezmethode.

Das Ergebnis ist eine vorzeichenbehaftete Fläche: Bereiche, in denen f(x) unter der x-Achse liegt, werden von der Gesamtsumme abgezogen, sodass das Ergebnis negativ oder null sein kann. Ist a > b, kehrt sich das Vorzeichen automatisch um, da Δx negativ wird. Funktionen wie 1/x, √x und ln(x) sind auf Teilen der reellen Achse undefiniert oder singulär, sodass eine Grenze, die auf einen undefinierten Punkt fällt (oder ein Intervall, das einen solchen Punkt überschreitet), kein Ergebnis liefert. Der Mittelwert ist die Fläche geteilt durch (b − a).