Υπολογιστής Εμβαδού Επιφάνειας εκ Περιστροφής
Υπολογίστε το εμβαδόν επιφάνειας που σαρώνεται όταν το γράφημα της f(x) περιστρέφεται μια πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα x στο διάστημα [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 έως 1
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Το εμβαδόν επιφάνειας εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα x είναι S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Αυτό το εργαλείο παραγωγίζει την f αριθμητικά με μια κεντρική διαφορά και ολοκληρώνει με τον σύνθετο κανόνα Simpson σε 1000 διαμερίσματα, επιστρέφοντας το σαρωμένο εμβαδόν επιφάνειας για την επιλεγμένη συνάρτηση και τα όριά σας a και b.
Τύπος
How this is calculated
Επιλέξτε μια συνάρτηση f(x) και τα όρια ολοκλήρωσης a και b. Όταν περιστρέφετε την καμπύλη y = f(x) γύρω από τον άξονα x, κάθε σημείο διαγράφει έναν κύκλο ακτίνας |f(x)|, και ένα απειροστό μήκος τόξου ds = √(1 + f′(x)²) dx σαρώνει ένα λεπτό κόλουρο κώνου πλευρικού εμβαδού 2π·|f(x)|·ds. Η ολοκλήρωση δίνει το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Η παράγωγος f′(x) εκτιμάται αριθμητικά με μια συμμετρική κεντρική διαφορά, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) με h = 1e-6, που είναι ακριβής σε δεύτερη τάξη. Το ορισμένο ολοκλήρωμα στη συνέχεια αξιολογείται με τον σύνθετο κανόνα Simpson σε n = 1000 υποδιαστήματα, που έχει σφάλμα O(h⁴) και χειρίζεται ομαλές ολοκληρωτέες ποσότητες πολύ ακριβώς. Αν εισαγάγετε a > b τα όρια εναλλάσσονται ώστε το εμβαδόν να παραμένει θετικό.
Η απόλυτη τιμή |f(x)| διασφαλίζει ότι η ακτίνα είναι μη αρνητική ακόμη και εκεί όπου η f βυθίζεται κάτω από τον άξονα. Τα αποτελέσματα υποθέτουν ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [a, b]· οξείες γωνίες ή κατακόρυφες εφαπτομένες (για παράδειγμα √x στο x = 0) μπορούν να μειώσουν ελαφρώς την ακρίβεια. Οι μονάδες του αποτελέσματος είναι το τετράγωνο των μονάδων που χρησιμοποιούνται για τα x και f.
Συχνές ερωτήσεις
Αν f(x) = 0 σε όλο το διάστημα (για παράδειγμα sin(x) περιστρεφόμενο σε μια συμμετρική περιοχή) η ακτίνα είναι μηδέν, οπότε δεν παράγεται επιφάνεια. Επιλέξτε όρια όπου το |f(x)| είναι θετικό.
Αυτός ο υπολογιστής περιστρέφει την καμπύλη γύρω από τον άξονα x. Για περιστροφή γύρω από τον άξονα y θα ολοκληρώνατε 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx αντ' αυτού.
Ο σύνθετος Simpson με 1000 διαμερίσματα συν μια παράγωγο κεντρικής διαφοράς υψηλής τάξης δίνει πολλά σωστά ψηφία για ομαλές συναρτήσεις· περιμένετε μικρά σφάλματα μόνο κοντά σε ιδιομορφίες ή κατακόρυφες εφαπτομένες.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Εμβαδού Επιφάνειας εκ Περιστροφής [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Εμβαδού Επιφάνειας εκ Περιστροφής." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Εμβαδού Επιφάνειας εκ Περιστροφής," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
@misc{wecalculate_surface_area_of_revolution_calculator, title = {Υπολογιστής Εμβαδού Επιφάνειας εκ Περιστροφής}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/surface-area-of-revolution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;