Υπολογιστής Πολυωνύμου Taylor
Χτίστε το πολυώνυμο Taylor τάξης n μιας συνάρτησης γύρω από ένα κέντρο c, αξιολογήστε το σε ένα σημείο x, και μετρήστε πόσο κοντά είναι στην ακριβή τιμή.
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Ένα πολυώνυμο Taylor προσεγγίζει μια συνάρτηση κοντά σε ένα κέντρο c χρησιμοποιώντας Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k!. Επιλέξτε τη συνάρτηση, το κέντρο, το σημείο αξιολόγησης και την τάξη· το εργαλείο επιστρέφει την προσέγγιση, την ακριβή τιμή και το απόλυτο σφάλμα, καθώς και ένα γράφημα που συγκρίνει και τις δύο καμπύλες ώστε να δείτε πώς υποβαθμίζεται η προσαρμογή μακριά από το c.
Τύπος
How this is calculated
Το πολυώνυμο Taylor προσεγγίζει μια ομαλή συνάρτηση κοντά σε ένα επιλεγμένο κέντρο c χρησιμοποιώντας τις παραγώγους της σε αυτό το σημείο. Κάθε όρος προσθέτει f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k!, οπότε ο σταθερός όρος αναπαράγει το f(c), ο γραμμικός όρος ταιριάζει με την κλίση, ο τετραγωνικός όρος ταιριάζει με την καμπυλότητα, και ούτω καθεξής έως την τάξη n. Όταν c = 0 αυτή είναι η σειρά Maclaurin.
Επιλέγετε μια συνάρτηση, το κέντρο c, το σημείο αξιολόγησης x, και την τάξη n. Οι παράγωγοι f⁽ᵏ⁾(c) υπολογίζονται αριθμητικά με k-οστές κεντρικές πεπερασμένες διαφορές, στη συνέχεια διαιρούνται με k! και πολλαπλασιάζονται με δυνάμεις του (x − c) και αθροίζονται. Ο υπολογιστής αναφέρει την προσέγγιση Pₙ(x), την ακριβή τιμή f(x), και το απόλυτο σφάλμα |f(x) − Pₙ(x)|.
Η ακρίβεια βελτιώνεται καθώς το n μεγαλώνει και καθώς το x κινείται πιο κοντά στο c, αφού το υπόλοιπο συμπεριφέρεται σαν (x − c)ⁿ⁺¹. Για το ln(1 + x) το πεδίο ορισμού απαιτεί x > −1, και το 1/(1 − x) έχει μια ιδιομορφία στο x = 1, του οποίου η σειρά Taylor συγκλίνει μόνο για |x − c| εντός της ακτίνας σύγκλισής της. Επειδή οι παράγωγοι εκτιμώνται με πεπερασμένες διαφορές, πολύ υψηλές τάξεις μπορεί να συσσωρεύσουν μικρό θόρυβο στρογγυλοποίησης.
Συχνές ερωτήσεις
Μια σειρά Maclaurin είναι απλώς μια σειρά Taylor κεντραρισμένη στο c = 0. Θέστε το κέντρο στο 0 εδώ για να την αναπαραγάγετε.
Το υπόλοιπο Taylor κλιμακώνεται με (x − c)ⁿ⁺¹, οπότε σημεία μακριά από το κέντρο χρειάζονται υψηλότερη τάξη n για να παραμείνουν ακριβή, και ορισμένες συναρτήσεις συγκλίνουν μόνο εντός μιας πεπερασμένης ακτίνας.
Κάθε f⁽ᵏ⁾(c) προσεγγίζεται με k-οστής τάξης κεντρικές πεπερασμένες διαφορές, στη συνέχεια συνδυάζεται με τους όρους παραγοντικού και δύναμης για να σχηματίσει το πολυώνυμο.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Πολυωνύμου Taylor [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Πολυωνύμου Taylor." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Πολυωνύμου Taylor," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/taylor-polynomial-calculator
@misc{wecalculate_taylor_polynomial_calculator, title = {Υπολογιστής Πολυωνύμου Taylor}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/taylor-polynomial-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;