रीमान योग परिकलक
किसी अंतराल पर आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़कर किसी फलन के निश्चित समाकलन को सन्निकट करें।
Function f(x)
Sample point
Approximate area under the curve
- 1
Subinterval width (Δx)
(2 − 0) ÷ 8 = 0.25 - 2
Riemann sum
8 rectangles × f(xᵢ*) × 0.25 = 2.6563Each rectangle has width Δx and height f(xᵢ*) evaluated at the chosen sample point.
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
एक रीमान योग चौड़ाई Δx = (b − a)/n के आयत जोड़कर [a, b] पर f(x) के नीचे के क्षेत्रफल का अनुमान लगाता है। बायाँ, दायाँ, या मध्यबिंदु नमूना बिंदु चुनें; योग Σ f(xi*)·Δx समाकलन को सन्निकट करता है। अधिक उपअंतराल एक निकट सन्निकटन देते हैं, और मध्यबिंदु नियम सामान्यतः सबसे सटीक होता है।
सूत्र
How this is calculated
एक रीमान योग x = a और x = b के बीच एक वक्र f(x) के नीचे के क्षेत्रफल को अंतराल को n समान उपअंतरालों में विभाजित करके सन्निकट करता है, प्रत्येक चौड़ाई Δx = (b − a) / n का। प्रत्येक उपअंतराल पर एक नमूना बिंदु xi* चुना जाता है और ऊँचाई f(xi*) तथा चौड़ाई Δx का आयत जोड़ा जाता है: योग Σ f(xi*)·Δx निश्चित समाकलन का अनुमान लगाता है।
नमूना बिंदु प्रकार नियंत्रित करता है कि प्रत्येक आयत वक्र को कहाँ छूता है। बायाँ अंतिम बिंदु xi* = a + i·Δx उपयोग करते हैं, दायाँ अंतिम बिंदु xi* = a + (i+1)·Δx उपयोग करते हैं, और मध्यबिंदु xi* = a + (i + 0.5)·Δx उपयोग करते हैं, जिसमें i, 0 से n−1 तक चलता है। मध्यबिंदु योग किसी दिए गए n के लिए तीनों में सामान्यतः सबसे सटीक होते हैं; बायाँ और दायाँ योग एकदिष्ट फलनों पर व्यवस्थित रूप से अधिक- या कम-आकलन करते हैं।
इनपुट हैं फलन (एक सूची में से चुना गया), सीमाएँ a और b, उपअंतरालों की संख्या n (एक धनात्मक पूर्णांक), और नमूना प्रकार। जैसे-जैसे n बढ़ता है योग वास्तविक समाकलन में अभिसरित होता है। ध्यान दें कि यदि a > b हो तो चौड़ाई Δx ऋणात्मक होती है, जो परिणाम का चिह्न पलट देती है, और अंतराल के किसी भाग पर अपरिभाषित फलन चुनना (जैसे 0 के आर-पार 1/x या ऋणात्मक x के लिए √x) कोई परिणाम नहीं देता।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
उपअंतरालों की एक निश्चित संख्या के लिए मध्यबिंदु नियम सामान्यतः सबसे सटीक होता है, क्योंकि प्रत्येक उपअंतराल पर अधिक- और कम-आकलन एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं। बायाँ और दायाँ योग कम सटीक परंतु तर्क करने में सरल हैं।
जैसे-जैसे उपअंतरालों की संख्या n बढ़ती है, आयत चौड़ाइयाँ सिकुड़ती हैं और रीमान योग निश्चित समाकलन ∫ a से b तक f(x) dx के सटीक मान में अभिसरित होता है।
परिकलक कुछ नहीं लौटाता यदि n, 1 से कम हो, यदि a, b के बराबर हो, या यदि चुना हुआ फलन जहाँ भी इसका नमूना लिया जाए वहाँ अपरिभाषित हो (उदाहरण के लिए x = 0 पर 1/x या ऋणात्मक x के लिए √x)।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). रीमान योग परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/riemann-sum-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "रीमान योग परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/riemann-sum-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "रीमान योग परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/riemann-sum-calculator
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