मध्यबिंदु नियम परिकलक
उन आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़कर किसी निश्चित समाकलन के मान का अनुमान लगाएँ जिनकी ऊँचाइयाँ प्रत्येक उपअंतराल के मध्यबिंदु पर ली जाती हैं।
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0.5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5.25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0.5 × 5.25 = 2.6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
मध्यबिंदु नियम [a, b] को चौड़ाई Δx = (b − a)/n की n समान पट्टियों में विभाजित करके, प्रत्येक पट्टी के मध्यबिंदु पर फलन का मूल्यांकन करके, और उन ऊँचाइयों को Δx से गुणा कर जोड़कर एक निश्चित समाकलन को सन्निकट करता है। यह रैखिक फलनों के लिए सटीक है और इसकी त्रुटि 1/n² की तरह घटती है, इसलिए बड़ा n तीव्र अनुमान देता है।
सूत्र
How this is calculated
मध्यबिंदु नियम संख्यात्मक समाकलन के लिए एक रीमान-योग विधि है। आप एक फलन f(x), निचली सीमा a, ऊपरी सीमा b, और समान उपअंतरालों की संख्या n चुनते हैं। परिकलक पहले उभयनिष्ठ चौड़ाई Δx = (b − a) / n परिकलित करता है, [a, b] को n पट्टियों में विभाजित करते हुए।
प्रत्येक पट्टी i (0 से n − 1 तक) के लिए यह फलन का मूल्यांकन मध्यबिंदु mₚ = a + (i + 0.5)·Δx पर करता है और f(mₚ) को आयत ऊँचाई के रूप में लेता है। प्रत्येक ऊँचाई को Δx से गुणा करने पर एक आयत क्षेत्रफल मिलता है, और सभी आयतों को जोड़ने पर सन्निकटन Δx · Σ f(mₚ) मिलता है। बाएँ या दाएँ अंतिम बिंदु के बजाय मध्यबिंदु का उपयोग सामान्यतः अधिकता और न्यूनता को रद्द कर देता है, इसलिए मध्यबिंदु नियम रैखिक फलनों के लिए सटीक है और समग्र रूप से द्वितीय-क्रम सटीक है।
सीमाएँ किसी भी क्रम में दी जा सकती हैं, परंतु समाकलन a → b की चिह्न परिपाटी बनाए रखता है। जैसे-जैसे आप n बढ़ाते हैं त्रुटि मोटे तौर पर 1/n² के रूप में सिकुड़ती है, जबकि तीव्र वक्रता या विचित्रता वाले फलनों (उदाहरण के लिए शून्य पार करता 1/x) को अधिक उपअंतरालों या विचित्र बिंदु से बचने वाले प्रांत की आवश्यकता होती है। कोण-आधारित विकल्प (sin, cos) रेडियन उपयोग करते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मध्यबिंदु पर नमूना लेना आयत के उन भागों को संतुलित करता है जो वक्र के ऊपर और नीचे हैं, इसलिए मध्यबिंदु नियम समान n के लिए बाएँ या दाएँ रीमान योग से अधिक सटीक है और सीधी रेखाओं के लिए सटीक है।
उपअंतरालों की संख्या n बढ़ाएँ। मध्यबिंदु-नियम त्रुटि लगभग 1/n² के अनुपात में घटती है, इसलिए n को दोगुना करने पर त्रुटि लगभग चार गुना कम हो जाती है।
हाँ। यदि a, b से बड़ा हो तो चौड़ाई Δx ऋणात्मक हो जाती है और सन्निकटन सही चिह्न रखता है, जो ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ से मेल खाता है।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). मध्यबिंदु नियम परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "मध्यबिंदु नियम परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "मध्यबिंदु नियम परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/midpoint-rule-calculator
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