Kalkulator wiersza trójkąta Pascala
Podaj indeks wiersza n i natychmiast uzyskaj pełny n-ty wiersz trójkąta Pascala wraz z jego sumą i największym współczynnikiem.
Sum of all coefficients in this row
- 1
C(n,0) = 1
1Every row starts with 1. - 2
C(n,1) = C(n,0) × n ÷ 1
1 × 6 ÷ 1 = 6 - 3
Row sum = 2^n
2^6 = 64The sum of all binomial coefficients in row n equals 2^n (binomial theorem with x=y=1).
Jak działa ten kalkulator?
Podaj indeks wiersza n, a narzędzie zwróci n-ty wiersz trójkąta Pascala — współczynniki dwumianowe C(n,0) do C(n,n). Buduje je za pomocą rekurencji C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k, pokazuje symetryczny kształt dzwonu, liczbę wyrazów (n+1) i potwierdza, że suma wiersza wynosi 2^n.
Wzór
How this is calculated
Trójkąt Pascala to tablica współczynników dwumianowych, gdzie każdy wyraz jest sumą dwóch wyrazów bezpośrednio nad nim. Jedynym wejściem jest n — numer wiersza indeksowanego od 0: wiersz 0 to [1], wiersz 1 to [1, 1], wiersz 2 to [1, 2, 1] i tak dalej. Kalkulator buduje wiersz iteracyjnie, a nie oblicza każdej silni osobno. Zaczyna od C(n,0) = 1 i stosuje rekurencję C(n,k) = C(n,k−1) · (n−k+1) / k dla k = 1 do n. Ponieważ każda wartość pośrednia jest dokładną liczbą całkowitą, ta mnożnikowa metoda unika przepełnienia, które wystąpiłoby przy bezpośrednim obliczaniu n!, i jest znacznie szybsza.
Wiersz ma n + 1 wyrazów, jest symetryczny (C(n,k) = C(n,n−k)) i tworzy rozkład w kształcie dzwonu, osiągający szczyt w środku. Suma wszystkich współczynników w wierszu n wynosi 2^n, co wynika z twierdzenia dwumianowego dla x = y = 1: (1 + 1)^n = Σ C(n,k). Te współczynniki to dokładnie mnożniki pojawiające się przy rozwijaniu (x + y)^n.
Dane wejściowe muszą być nieujemnymi liczbami całkowitymi. Wartości niecałkowite, ujemne lub puste nie dają wyników. Dla bardzo dużych n współczynniki przekraczają precyzję arytmetyki zmiennoprzecinkowej podwójnej precyzji, więc wyniki powyżej kilkuset należy traktować jako przybliżone.
Najczęściej zadawane pytania
Wiersz 0 to po prostu [1]. Trójkąt jest indeksowany od 0, więc pojedyncze 1 na szczycie to wiersz 0, [1, 1] to wiersz 1, a [1, 2, 1] to wiersz 2.
Podstawiając x = y = 1 w twierdzeniu dwumianowym, otrzymujemy (1 + 1)^n = Σ C(n,k), więc współczynniki wiersza n zawsze sumują się do 2^n.
Kalkulator używa rekurencji C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k, zaczynając od C(n,0) = 1, co sprawia, że każdy krok jest dokładną liczbą całkowitą i unika przepełnienia silni.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator wiersza trójkąta Pascala [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/pascals-triangle-row-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator wiersza trójkąta Pascala." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/pascals-triangle-row-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator wiersza trójkąta Pascala," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/pascals-triangle-row-calculator
@misc{wecalculate_pascals_triangle_row_calculator, title = {Kalkulator wiersza trójkąta Pascala}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/pascals-triangle-row-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?