Kalkulator rozwinięcia dwumianu
Rozwiń dowolny dwumian (a + b)^n wyraz po wyrazie i odczytaj każdy współczynnik dwumianowy.
- 1
Base sum a + b
1 + 2 = 3 - 2
Number of terms n + 1
4 + 1 = 5 - 3
Total (a + b)ⁿ — sum of all binomial terms
81The binomial theorem guarantees this equals the sum of all C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ terms.
Jak działa ten kalkulator?
Wzór dwumianowy Newtona rozwija (a + b)^n na n+1 wyrazów, z których każdy jest równy C(n,k)·a^(n-k)·b^k dla k = 0…n. Współczynniki C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) są elementami trójkąta Pascala. To narzędzie wypisuje każdy wyraz, jego współczynnik i jego wartość oraz sprawdza, czy wyrazy sumują się do (a + b)^n.
Wzór
How this is calculated
Wzór dwumianowy Newtona rozwija potęgę sumy (a + b)^n na sumę n+1 wyrazów. K-ty wyraz (dla k = 0, 1, …, n) to C(n,k)·a^(n-k)·b^k, gdzie współczynnik dwumianowy C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) zlicza, na ile sposobów można wybrać k elementów spośród n. Wprowadź pierwszy wyraz a, drugi wyraz b oraz wykładnik n.
Współczynniki C(n,k) tworzą n-ty wiersz trójkąta Pascala i są symetryczne: C(n,k) = C(n,n-k). Są tu obliczane wzorem multiplikatywnym C(n,k) = Π[i=1..k] (n-k+i)/i, który unika bezpośredniego tworzenia dużych silni i zachowuje dokładność całkowitoliczbowych współczynników. Każdy wyrazowy wynik pokazuje swój współczynnik, swoją postać symboliczną oraz swoją wartość liczbową dla podanych a i b; poziome słupki porównują wartość bezwzględną |wartości| każdego wyrazu.
Wykładnik musi być nieujemną liczbą całkowitą (tutaj ograniczoną do 0–60, aby utrzymać skończone liczby). Suma wszystkich wyrazów liczbowych jest dokładnie równa (a + b)^n, co służy jako wbudowana kontrola. Wyrazy mogą być ujemne, gdy a lub b jest ujemne, więc słupki używają wartości bezwzględnej, podczas gdy wyświetlana etykieta zachowuje wartość ze znakiem.
Najczęściej zadawane pytania
Mówi on, że (a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k dla k od 0 do n. Zamienia potęgę dwuwyrazowej sumy na jawną sumę n+1 wyrazów, których współczynnikami są współczynniki dwumianowe.
Współczynniki C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) są dokładnie elementami wiersza n trójkąta Pascala. Każdy element jest sumą dwóch elementów nad nim, a wiersz jest symetryczny.
Użyty tutaj skończony wzór dwumianowy wymaga, aby n było nieujemną liczbą całkowitą. Ujemne lub ułamkowe wykładniki dają nieskończony szereg zamiast skończonego rozwinięcia, którego ten kalkulator nie tworzy.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator rozwinięcia dwumianu [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/binomial-expansion-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator rozwinięcia dwumianu." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/binomial-expansion-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator rozwinięcia dwumianu," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/binomial-expansion-calculator
@misc{wecalculate_binomial_expansion_calculator, title = {Kalkulator rozwinięcia dwumianu}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/binomial-expansion-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?