Kalkulator rozkładu ujemnego dwumianowego

Wzór

How this is calculated

Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) modeluje liczbę niepowodzeń X = k, które następują przed r-tym sukcesem, gdy każda niezależna próba kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem p. Funkcja masy prawdopodobieństwa to P(X = k) = C(k + r − 1, k) · p^r · (1 − p)^k dla k = 0, 1, 2, …. Współczynnik dwumianowy zlicza rozmieszczenie pierwszych k niepowodzeń i r − 1 sukcesów wśród pierwszych k + r − 1 prób; ostatnia próba jest zawsze r-tym sukcesem. Kalkulator wyznacza współczynnik za pomocą funkcji log-gamma, dzięki czemu pozostaje numerycznie stabilny dla dużych r i k.

Wpisz r (wymagana liczba sukcesów, dodatnia liczba całkowita), p (prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie z przedziału od 0 do 1) oraz k (liczba niepowodzeń). Selektor trybu pozwala wybrać między dokładnym prawdopodobieństwem punktowym P(X = k), dolnym skumulowanym P(X ≤ k) i górnym ogonem P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Oczekiwana liczba niepowodzeń wynosi r(1 − p)/p, a wariancja r(1 − p)/p², więc rozrzut rośnie szybko, gdy p dąży do 0.

Założenia: próby są niezależne i jednakowo rozłożone, p jest stałe, a liczniki są nieujemnymi liczbami całkowitymi (k jest zaokrąglane). Wynik jest nieokreślony, gdy p ≤ 0 lub p > 1; gdy p → 1, rozkład skupia się wokół k = 0, ponieważ sukcesy następują niemal natychmiast.