Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2
Oblicz wartości własne dowolnej macierzy 2×2, rozwiązując jej równanie charakterystyczne, zwracając pierwiastki rzeczywiste lub sprzężone zespolone.
Second eigenvalue λ₂: 2
- 1
Trace T = a + d
4 + 3 = 7 - 2
Determinant D = ad − bc
4 × 3 − 1 × 2 = 10 - 3
Discriminant Δ = T² − 4D
7² − 4 × 10 = 9 - 4
Eigenvalue λ₁ = (T + √Δ) ÷ 2
(7 + 3) ÷ 2 = 5
Jak działa ten kalkulator?
Dla macierzy 2×2 A = [[a,b],[c,d]] wartości własne rozwiązują λ² − Tλ + D = 0 ze śladem T = a+d i wyznacznikiem D = ad−bc. Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, λ = (T ± √(T²−4D))/2. Nieujemny wyróżnik daje pierwiastki rzeczywiste; ujemny daje parę sprzężoną zespoloną.
Wzór
How this is calculated
Wprowadź macierz 2×2 A = [[a, b], [c, d]] jako dwa wiersze po dwie liczby. Kalkulator odczytuje wszystkie cztery elementy, a następnie oblicza ślad T = a + d i wyznacznik D = ad − bc. Te dwa skalary w pełni wyznaczają wartości własne macierzy 2×2.
Wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego det(A − λI) = λ² − Tλ + D = 0. Rozwiązanie wzorem na pierwiastki równania kwadratowego daje λ = (T ± √Δ)/2, gdzie wyróżnik Δ = T² − 4D. Gdy Δ ≥ 0, obie wartości własne są rzeczywiste (równe, gdy Δ = 0); gdy Δ < 0, tworzą parę sprzężoną zespoloną λ = T/2 ± (√(−Δ)/2)·i.
Wszystkie elementy są traktowane jako dokładne liczby rzeczywiste, a wyniki są zaokrąglane do czterech cyfr znaczących do wyświetlenia. Metoda działa dla dowolnej rzeczywistej macierzy 2×2, w tym macierzy osobliwych (D = 0, dające wartość własną 0) oraz przypadków z powtórzonym pierwiastkiem. Zauważ, że wartości własne opisują kierunki skalowania odwzorowania liniowego; odpowiadające im wektory własne nie są tu obliczane.
Najczęściej zadawane pytania
Gdy wyróżnik Δ = T² − 4D jest ujemny. Wtedy pierwiastki tworzą parę sprzężoną zespoloną T/2 ± (√(−Δ)/2)·i, co zwykle wskazuje na zachowanie obrotowe w odwzorowaniu liniowym.
Ślad jest równy sumie wartości własnych (λ₁ + λ₂ = T), a wyznacznik jest równy ich iloczynowi (λ₁·λ₂ = D). Te zależności są szybkim sposobem na sprawdzenie obliczonych wartości.
Tak. Gdy Δ = 0, macierz ma powtórzoną wartość własną λ = T/2. Macierz może, ale nie musi być w takim przypadku diagonalizowalna, ale wartość pojedynczej wartości własnej jest poprawna.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/eigenvalue-calculator-2x2
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/eigenvalue-calculator-2x2.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/eigenvalue-calculator-2x2
@misc{wecalculate_eigenvalue_calculator_2x2, title = {Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/eigenvalue-calculator-2x2}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?