Kalkulator równań kwadratowych
Rozwiąż dowolne równanie kwadratowe i zobacz jego pierwiastki oraz wyróżnik.
Dwa pierwiastki rzeczywiste
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Wyróżnik
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Wzór
How this is calculated
Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a, b i c to liczby, które wprowadzasz. Współczynnik a mnoży x² i nie może być zerem — gdyby był, równanie byłoby liniowe, a nie kwadratowe. Współczynnik b mnoży x, a c jest samodzielnym wyrazem wolnym. Solver stosuje wzór kwadratowy x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, który podaje dokładne wartości x, w których parabola przecina zero.
Kluczową wielkością jest wyróżnik, D = b² − 4ac, obliczany najpierw. Jego znak decyduje o naturze pierwiastków bez żadnej dodatkowej pracy: D > 0 daje dwa różne pierwiastki rzeczywiste, D = 0 daje jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty (parabola jedynie dotyka osi x), a D < 0 daje parę sprzężonych pierwiastków zespolonych zapisanych jako re ± im·i.
Dane wejściowe to czyste liczby bez jednostek, więc wyniki przyjmują takie jednostki, jakie wynikają z Twojego zadania. Obliczenia korzystają ze standardowej arytmetyki zmiennoprzecinkowej, więc bardzo duże współczynniki lub pierwiastki wyjątkowo bliskie sobie mogą wykazywać drobne różnice zaokrągleń w wyświetlanych wartościach.
Przykłady
| Dane wejściowe | Wynik |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
O tym kalkulatorze
Solver równania kwadratowego znajduje wartości x, które spełniają równanie postaci ax^2 + bx + c = 0, gdzie a, b i c są stałymi, a a nie jest zerem. Te rozwiązania nazywane są pierwiastkami równania, a graficznie są to punkty, w których parabola y = ax^2 + bx + c przecina oś poziomą.
Solver stosuje wzór kwadratowy, x = (-b plus lub minus pierwiastek kwadratowy z (b^2 - 4ac)) podzielone przez 2a. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, b^2 - 4ac, nazywane jest wyróżnikiem (delta) i decyduje o charakterze pierwiastków, zanim jeszcze ukończysz obliczenia. Jeśli wyróżnik jest dodatni, istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jeśli jest dokładnie zerem, istnieje jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty, a jeśli jest ujemny, istnieją dwa sprzężone pierwiastki zespolone zawierające jednostkę urojoną i.
Aby skorzystać z narzędzia, wpisz trzy współczynniki a, b i c dokładnie tak, jak pojawiają się w twoim równaniu, włącznie z wszelkimi znakami ujemnymi. Solver podaje wyróżnik, mówi, ile istnieje pierwiastków rzeczywistych lub zespolonych, a następnie podaje same pierwiastki. Pokazanie wyróżnika jako pierwszego pozwala zrozumieć wynik, a nie tylko odczytać liczbę.
Interpretacja wyniku polega na dopasowaniu pierwiastków do wyróżnika. Dwa pierwiastki rzeczywiste oznaczają, że parabola przecina oś w dwóch miejscach; jeden podwójny pierwiastek oznacza, że tylko dotyka osi w swoim wierzchołku; a pierwiastki zespolone oznaczają, że parabola w ogóle nie sięga osi. Każdy pierwiastek rzeczywisty zawsze możesz zweryfikować, podstawiając go z powrotem do pierwotnego równania, które powinno zwrócić zero.
Częste błędy to wpisanie a jako zera, co nie jest wcale równaniem kwadratowym, lecz liniowym, oraz opuszczenie znaku minus podczas przepisywania współczynników, co po cichu zmienia odpowiedź. Ludzie czasem zapominają też, że odejmowanie wewnątrz wzoru może odwrócić znaki oraz że ujemny wyróżnik nie oznacza braku rozwiązania, a jedynie to, że rozwiązania są zespolone, a nie rzeczywiste.
Najczęściej zadawane pytania
Wyróżnik to b^2 - 4ac, część pod pierwiastkiem kwadratowym we wzorze kwadratowym. Mówi ci o charakterze pierwiastków: dodatni oznacza dwa różne pierwiastki rzeczywiste, zero oznacza jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty, a ujemny oznacza dwa sprzężone pierwiastki zespolone.
Wtedy nie jest to wcale równanie kwadratowe, lecz liniowe, bx + c = 0, z jednym rozwiązaniem x = -c/b. Prawdziwe równanie kwadratowe wymaga, aby a było niezerowe, w przeciwnym razie człon x^2 znika i wzór kwadratowy nie może być zastosowany.
Tak, gdy wyróżnik równa się dokładnie zeru. W tym przypadku wzór daje jeden podwójny pierwiastek x = -b/(2a), a graficznie parabola tylko dotyka osi poziomej w swoim wierzchołku, zamiast ją przecinać.
Oznacza, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, lecz dwa zespolone, zapisane jako sprzężenia postaci p plus lub minus qi. Parabola nigdy nie przecina osi poziomej, ale pierwiastki nadal istnieją w obrębie systemu liczb zespolonych.
Podstaw go z powrotem do pierwotnego równania ax^2 + bx + c. Jeśli wartość jest prawdziwym pierwiastkiem, wyrażenie powinno dać zero (lub wartość bardzo bliską zeru, uwzględniając zaokrąglenie). Działa to dla obu pierwiastków rzeczywistych.
Dla ax^2 + bx + c = 0 dwa pierwiastki sumują się do -b/a, a mnożą do c/a. Te zależności, znane jako wzory Viète'a, dają szybki sposób na sprawdzenie poprawności wyniku solvera bez ponownego wykonywania pełnych obliczeń.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator równań kwadratowych [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator równań kwadratowych." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator równań kwadratowych," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Kalkulator równań kwadratowych}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?