Kalkulator układu równań (2x2)
Rozwiąż dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi (x i y) za pomocą wzorów Cramera.
- 1
Wyznacznik
a₁·b₂ − a₂·b₁ = 2·-1 − 1·3 = -5Non-zero determinant confirms a unique solution exists. - 2
x numerator (c₁b₂ − c₂b₁)
8·-1 − -1·3 = -5 - 3
x = num_x ÷ det
-5 ÷ -5 = 1 - 4
y numerator (a₁c₂ − a₂c₁)
2·-1 − 1·8 = -10 - 5
y = num_y ÷ det
-10 ÷ -5 = 2
Wzór
How this is calculated
Wprowadzasz sześć liczb opisujących dwie proste zapisane jako a₁x + b₁y = c₁ oraz a₂x + b₂y = c₂. Tutaj a₁ i a₂ są współczynnikami przy x, b₁ i b₂ są współczynnikami przy y, a c₁ i c₂ są wyrazami wolnymi po prawej stronie. Wszystkie wartości to zwykłe liczby bezwymiarowe, a wartości dziesiętne lub ujemne są dozwolone.
Solver stosuje wzory Cramera. Najpierw oblicza wyznacznik det = a₁b₂ − a₂b₁, który określa, czy obie proste faktycznie przecinają się w jednym punkcie. Następnie dzieli dwa powiązane iloczyny skrośne przez ten wyznacznik: x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ det oraz y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ det. Wynikiem jest dokładny punkt przecięcia obu prostych.
Kluczowym założeniem jest to, że wyznacznik jest różny od zera. Gdy det = 0, proste są równoległe (brak rozwiązania) lub identyczne (nieskończenie wiele rozwiązań), więc nie istnieje jednoznaczne x i y, a narzędzie sygnalizuje to zamiast dzielić przez zero. Wyniki są pokazywane z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, więc są zaokrąglane do wyświetlenia.
Przykłady
| Dane wejściowe | Wynik |
|---|---|
| 2x + 3y = 8; x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
O tym kalkulatorze
Układ równań liniowych 2x2 składa się z dwóch równań a₁x + b₁y = c₁ oraz a₂x + b₂y = c₂. Wzory Cramera rozwiązują go za pomocą wyznacznika det = a₁b₂ − a₂b₁. Gdy det jest różny od zera, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ det oraz y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ det.
Gdy wyznacznik jest równy zeru, obie proste są albo równoległe (brak rozwiązania), albo to ta sama prosta (nieskończenie wiele rozwiązań), więc nie można zwrócić jednej pary (x, y). Geometrycznie rozwiązaniem jest punkt, w którym przecinają się obie proste.
Najczęściej zadawane pytania
Wzory Cramera wyrażają każdą niewiadomą jako stosunek wyznaczników. Dla układu 2x2 dają one x i y bezpośrednio na podstawie współczynników i wyrazów wolnych, bez konieczności eliminacji.
Wyznacznik mówi, czy istnieje jednoznaczne rozwiązanie. Jeśli jest różny od zera, proste przecinają się w jednym punkcie; jeśli jest równy zeru, są równoległe lub identyczne i nie ma jednego rozwiązania.
Przekształć każde równanie do postaci ax + by = c, następnie wprowadź sześć współczynników a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ w odpowiadające im pola.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator układu równań (2x2) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/system-of-equations-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator układu równań (2x2)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/system-of-equations-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator układu równań (2x2)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/system-of-equations-calculator
@misc{wecalculate_system_of_equations_calculator, title = {Kalkulator układu równań (2x2)}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/system-of-equations-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?