TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Wszystkie kalkulatory
Advanced

Kalkulator równania sześciennego

Znajdź każdy rzeczywisty i zespolony pierwiastek dowolnego równania sześciennego ax³ + bx² + cx + d = 0 i zobacz wykreśloną krzywą.
Must be non-zero
Three real roots
x = 3, x = 2, x = 1
Root 1
3
Root 2
2
Root 3
1
Discriminant Δ
-0,037
Step by step
  1. 1

    Shift: t = x + b/(3a)

    6 ÷ (3 × 1) = 2
    Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0.
  2. 2

    p = (3ac − b²) ÷ (3a²)

    (3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1
  3. 3

    q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)

    0 ÷ 27 = 0
  4. 4

    Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³

    (0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370
    Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Wyniki są jedynie szacunkami o charakterze ogólnoinformacyjnym i nie stanowią profesjonalnej porady — zawsze samodzielnie zweryfikuj ważne wyniki, zanim na nich polegniesz. Przeczytaj pełne zastrzeżenie.
Szybka odpowiedź

Jak działa ten kalkulator?

Równanie sześcienne ax³ + bx² + cx + d = 0 zawsze ma trzy pierwiastki. Ten kalkulator redukuje je do równania zredukowanego, sprawdza wyróżnik Δ = (q/2)² + (p/3)³, a następnie stosuje wzór Cardana dla jednego pierwiastka rzeczywistego lub wzór trygonometryczny dla trzech pierwiastków rzeczywistych, wypisując każdy pierwiastek i rysując wykres krzywej.

Wzór
ax³ + bx² + cx + d = 0 → równanie zredukowane t³ + pt + q = 0, Δ = (q/2)² + (p/3)³
How this is calculated

Wprowadź cztery współczynniki a, b, c i d. Współczynnik wiodący a musi być różny od zera, w przeciwnym razie równanie nie jest sześcienne i kalkulator nie zwraca wyniku. Równanie jest najpierw koncepcyjnie dzielone przez a i redukowane do równania zredukowanego t³ + pt + q = 0 za pomocą podstawienia x = t − b/(3a), gdzie p = (3ac − b²)/(3a²) oraz q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).

O charakterze pierwiastków decyduje wyróżnik Δ = (q/2)² + (p/3)³, który jest proporcjonalny do −(4p³ + 27q²). Gdy Δ > 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, obliczany wzorem Cardana t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), oraz para sprzężonych pierwiastków zespolonych. Gdy Δ ≤ 0, wszystkie trzy pierwiastki są rzeczywiste i znajdowane stabilnym wzorem trygonometrycznym t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) dla k = 0, 1, 2.

Każde t jest cofane o −b/(3a), aby odzyskać x. Pierwiastki zespolone są pokazywane jako część rzeczywista plus lub minus część urojona (…i). Wykres przedstawia y = ax³ + bx² + cx + d w oknie obejmującym pierwiastki rzeczywiste, gdzie każde przecięcie osi x oznacza rozwiązanie rzeczywiste. Wyniki są dokładne z dokładnością do zaokrągleń zmiennoprzecinkowych; bardzo duże stosunki współczynników mogą wprowadzać niewielkie błędy numeryczne.

Najczęściej zadawane pytania

Jeśli a = 0, wyraz x³ znika i równanie jest kwadratowe (lub niższego stopnia), a nie sześcienne, więc metoda sześcienna nie ma zastosowania. Użyj zamiast tego kalkulatora równania kwadratowego.

Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma dokładnie trzy pierwiastki liczone z krotnością: albo trzy pierwiastki rzeczywiste, albo jeden pierwiastek rzeczywisty i parę sprzężonych pierwiastków zespolonych.

Δ > 0 oznacza jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone; Δ = 0 oznacza powtórzony pierwiastek rzeczywisty; Δ < 0 oznacza trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Znany również jako

równanie sześcienne
ax^3+bx^2+cx+d
pierwiastki sześcienne
równanie trzeciego stopnia
wzór cardano
równanie 3 stopnia

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator równania sześciennego [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/cubic-equation-solver

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator równania sześciennego." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/cubic-equation-solver.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator równania sześciennego," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/cubic-equation-solver

BibTeX

@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Kalkulator równania sześciennego}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Czy ten kalkulator Ci pomógł?

Powiązane kalkulatory

Kalkulator równań kwadratowych

Rozwiąż ax² + bx + c = 0 za pomocą wzoru kwadratowego — pierwiastki rzeczywiste i zespolone oraz wyróżnik.

Beginner

Kalkulator rozkładu trójmianu kwadratowego na czynniki

Rozłóż ax^2+bx+c na a(x-r1)(x-r2) za pomocą jego pierwiastków, z wynikiem rzeczywistym lub zespolonym.

Intermediate

Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2

Znajdź wartości własne macierzy 2x2 z jej równania charakterystycznego. Wprowadź cztery elementy, aby uzyskać pierwiastki rzeczywiste lub zespolone.

Advanced

Kalkulator równań z wartością bezwzględną

Rozwiąż |ax+b|=c względem x i narysuj y=|ax+b| oraz y=c, aby zobaczyć punkty przecięcia.

Beginner

Kalkulator paraboli z punktów

Znajdź równanie kwadratowe y = ax² + bx + c paraboli przechodzącej przez trzy punkty, a także jej wierzchołek, oś symetrii i wyróżnik, wraz z wykresem.

Beginner

Kalkulator wyróżnika (delty)

Znajdź wyróżnik b^2-4ac równania kwadratowego i natychmiast zobacz, ile ma pierwiastków rzeczywistych.

Beginner