Kalkulator pola powierzchni bryły obrotowej
Oblicz pole powierzchni zamiatanej, gdy wykres funkcji f(x) jest obracany o pełny obrót wokół osi x na przedziale [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 do 1
Jak działa ten kalkulator?
Pole powierzchni bryły obrotowej względem osi x wynosi S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Narzędzie różniczkuje f numerycznie metodą różnic centralnych i całkuje złożoną regułą Simpsona na 1000 podprzedziałach, zwracając pole zamiatanej powierzchni dla wybranej funkcji i granic a oraz b.
Wzór
How this is calculated
Wybierz funkcję f(x) i granice całkowania a oraz b. Kiedy obracasz krzywą y = f(x) wokół osi x, każdy punkt zakreśla okrąg o promieniu |f(x)|, a nieskończenie mały łuk ds = √(1 + f′(x)²) dx zamiatuje cienki stożek ścięty o polu bocznym 2π·|f(x)|·ds. Scałkowanie daje łączne pole powierzchni S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Pochodna f′(x) jest szacowana numerycznie symetryczną różnicą centralną, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) dla h = 1e-6, co jest dokładne z błędem drugiego rzędu. Całka oznaczona jest następnie wyznaczana złożoną regułą Simpsona na n = 1000 podprzedziałach, co daje błąd O(h⁴) i bardzo dokładne wyniki dla gładkich podintegrandów. Jeśli a > b, granice są zamieniane miejscami, aby pole pozostało dodatnie.
Wartość bezwzględna |f(x)| zapewnia nieujemność promienia nawet gdy f spada poniżej osi. Wyniki zakładają, że f jest ciągła i różniczkowalna na [a, b]; ostre narożniki lub pionowe styczne (na przykład √x przy x = 0) mogą nieznacznie obniżyć dokładność. Jednostką wyniku jest kwadrat jednostki użytej dla x i f.
Najczęściej zadawane pytania
Jeśli f(x) = 0 na całym przedziale (na przykład sin(x) obrócony nad obszarem symetrycznym), promień wynosi zero i żadna powierzchnia nie jest generowana. Wybierz granice, na których |f(x)| jest dodatnie.
Ten kalkulator obraca krzywą wokół osi x. Dla obrotu wokół osi y należałoby zamiast tego całkować 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx.
Złożona reguła Simpsona na 1000 podprzedziałach w połączeniu z pochodną wyznaczaną różnicami centralnymi wysokiego rzędu daje wiele poprawnych cyfr dla gładkich funkcji; małe błędy należy oczekiwać jedynie w pobliżu osobliwości lub pionowych stycznych.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator pola powierzchni bryły obrotowej [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator pola powierzchni bryły obrotowej." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator pola powierzchni bryły obrotowej," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
@misc{wecalculate_surface_area_of_revolution_calculator, title = {Kalkulator pola powierzchni bryły obrotowej}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/surface-area-of-revolution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?