Калькулятор площади поверхности вращения
Вычислите площадь поверхности, описываемой графиком f(x) при полном обороте вокруг оси x на интервале [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 до 1
Как работает этот калькулятор?
Площадь поверхности вращения вокруг оси x равна S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Инструмент численно дифференцирует f методом центральных разностей и интегрирует с помощью составного правила Симпсона на 1000 отрезках, возвращая площадь описанной поверхности для заданной функции и пределов a и b.
Формула
How this is calculated
Выберите функцию f(x) и пределы интегрирования a и b. При вращении кривой y = f(x) вокруг оси x каждая точка описывает окружность радиуса |f(x)|, а бесконечно малая длина дуги ds = √(1 + f′(x)²) dx порождает тонкий фрустум с боковой площадью 2π·|f(x)|·ds. Интегрирование даёт суммарную площадь поверхности S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Производная f′(x) оценивается численно с помощью симметричной центральной разности: f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) при h = 1e-6, что обеспечивает точность второго порядка. Определённый интеграл вычисляется составным правилом Симпсона с n = 1000 подотрезками, имеющим погрешность O(h⁴) и дающим высокую точность для гладких подынтегральных выражений. Если введено a > b, пределы меняются местами, чтобы площадь оставалась положительной.
Абсолютное значение |f(x)| гарантирует неотрицательность радиуса даже там, где f принимает отрицательные значения. Результаты справедливы при условии непрерывности и дифференцируемости f на [a, b]; острые углы или вертикальные касательные (например, √x при x = 0) могут незначительно снизить точность. Единица измерения результата — квадрат единицы, используемой для x и f.
Часто задаваемые вопросы
Если f(x) = 0 на всём интервале (например, sin(x) при вращении на симметричном отрезке), радиус равен нулю и поверхность не образуется. Выберите пределы, где |f(x)| > 0.
Данный калькулятор вращает кривую вокруг оси x. При вращении вокруг оси y следует интегрировать 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx.
Составное правило Симпсона на 1000 отрезках в сочетании с производной высокого порядка методом центральных разностей даёт много верных значащих цифр для гладких функций; незначительные погрешности возможны лишь вблизи особых точек или вертикальных касательных.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор площади поверхности вращения [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор площади поверхности вращения." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор площади поверхности вращения," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
@misc{wecalculate_surface_area_of_revolution_calculator, title = {Калькулятор площади поверхности вращения}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/surface-area-of-revolution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?