欧拉函数（phi）计算器
欧拉函数 φ(n) 统计 1 到 n 中与 n 除 1 外没有公因子的整数个数。
Count of integers in 1..n coprime to 36
12
coprimeCoprime to n
33.3%
Sharing a factor
66.7%
- 1
Distinct prime factors of n
2, 3 - 2
Apply product formula φ(n) = n × Π(1 − 1/p)
36 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 12
这个计算器是如何工作的？
欧拉函数 φ(n) 统计 1 到 n 中与 n 互质的整数个数。将 n 分解为不同质因数 p，计算 φ(n) = n · Π(1 − 1/p)。互质比率 φ(n)/n 等于该乘积，表示 n 以下随机整数与 n 互质的概率。
公式
How this is calculated
输入单个正整数 n（n ≥ 1）。计算器通过试除法对 n 进行质因数分解，找出整除 n 的每个不同质因数 p。重复的质因数被合并，因此只有不同质因数的集合对欧拉函数值有影响。
从 φ = n 开始，对每个不同质因数 p 乘以 (1 − 1/p)，实现为 φ = φ − φ/p 以避免浮点漂移；最终结果四舍五入到最近整数。这就是乘积公式 φ(n) = n · Π(1 − 1/p)，它成立是因为欧拉函数对互质质因数幂具有积性。互质比率 φ(n)/n 等于同一乘积，表示 1 到 n 中随机整数与 n 互质的概率。
边界情况：φ(1) = 1（按惯例），质数 n 返回 φ(n) = n − 1，其本身为唯一质因数。输入必须为正整数；非整数、小于 1 的值或极大的 n（超过 10^12）将被拒绝。输出为纯计数值，无量纲。
常见问题
按惯例 φ(1) = 1，因为 1 被视为与自身互质，且没有质因数来减少计数。
质数 p 与 1, 2, …, p − 1 中的任何数均无公因子，因此这 p − 1 个整数均与 p 互质，只有 p 本身被排除。
无关。整除 n 的不同质因数才出现在乘积 Π(1 − 1/p) 中；其重数被首项因子 n 吸收。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 欧拉函数（phi）计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/euler-totient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "欧拉函数（phi）计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/euler-totient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "欧拉函数（phi）计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/euler-totient-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？