Kalkulačka povrchu rotačního tělesa
Vypočítejte povrch opsaný, když se graf f(x) otočí o úplnou otáčku kolem osy x na intervalu [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 až 1
Jak tato kalkulačka funguje?
Povrch rotačního tělesa kolem osy x je S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Tento nástroj derivuje f numericky centrální diferencí a integruje složeným Simpsonovým pravidlem na 1000 panelech, čímž vrací opsaný povrch pro zvolenou funkci a meze a a b.
Vzorec
How this is calculated
Vyberte funkci f(x) a integrační meze a a b. Když otočíte křivku y = f(x) kolem osy x, každý bod opisuje kružnici o poloměru |f(x)| a nekonečně malá délka oblouku ds = √(1 + f′(x)²) dx opisuje tenký komolý kužel o plášti 2π·|f(x)|·ds. Integrací vznikne celkový povrch S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Derivace f′(x) se odhaduje numericky symetrickou centrální diferencí, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) s h = 1e-6, což je přesné do druhého řádu. Určitý integrál se pak vyhodnotí složeným Simpsonovým pravidlem na n = 1000 podintervalech, které má chybu O(h⁴) a velmi přesně zpracovává hladké integrandy. Pokud zadáte a > b, meze se prohodí, takže plocha zůstane kladná.
Absolutní hodnota |f(x)| zajišťuje, že poloměr je nezáporný i tam, kde f klesne pod osu. Výsledky předpokládají, že f je spojitá a diferencovatelná na [a, b]; ostré rohy nebo svislé tečny (například √x v x = 0) mohou přesnost mírně snížit. Jednotky výsledku jsou druhou mocninou jednotek použitých pro x a f.
Často kladené otázky
Pokud f(x) = 0 napříč intervalem (například sin(x) otočený přes symetrickou oblast), je poloměr nulový, takže se nevytvoří žádný povrch. Zvolte meze, kde je |f(x)| kladné.
Tato kalkulačka otáčí křivku kolem osy x. Pro rotaci kolem osy y byste místo toho integrovali 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx.
Složené Simpsonovo pravidlo s 1000 panely plus derivace centrální diferencí vyššího řádu dává pro hladké funkce mnoho správných číslic; malé chyby očekávejte pouze blízko singularit nebo svislých tečen.
Také známé jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka povrchu rotačního tělesa [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/cs/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka povrchu rotačního tělesa." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/cs/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka povrchu rotačního tělesa," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/cs/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
@misc{wecalculate_surface_area_of_revolution_calculator, title = {Kalkulačka povrchu rotačního tělesa}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/cs/calculator/surface-area-of-revolution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám tato kalkulačka?