Rechner für die Mantelfläche eines Rotationskörpers
Berechne die Fläche, die überstrichen wird, wenn der Graph von f(x) eine volle Umdrehung um die x-Achse über dem Intervall [a, b] gedreht wird.
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 bis 1
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die Mantelfläche eines Rotationskörpers um die x-Achse ist S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Dieses Werkzeug leitet f numerisch mit einer zentralen Differenz ab und integriert mit der zusammengesetzten Simpson-Regel auf 1000 Streifen, um die überstrichene Mantelfläche für deine gewählte Funktion und die Grenzen a und b zurückzugeben.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f(x) und die Integrationsgrenzen a und b. Wenn du die Kurve y = f(x) um die x-Achse drehst, beschreibt jeder Punkt einen Kreis mit Radius |f(x)|, und ein infinitesimaler Bogenlängenabschnitt ds = √(1 + f′(x)²) dx überstreicht einen dünnen Kegelstumpf der Mantelfläche 2π·|f(x)|·ds. Die Integration ergibt die gesamte Mantelfläche S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Die Ableitung f′(x) wird numerisch mit einer symmetrischen zentralen Differenz geschätzt, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) mit h = 1e-6, was bis zur zweiten Ordnung genau ist. Das bestimmte Integral wird dann mit der zusammengesetzten Simpson-Regel auf n = 1000 Teilintervallen ausgewertet, die einen Fehler O(h⁴) hat und glatte Integranden sehr präzise behandelt. Gibst du a > b ein, werden die Grenzen vertauscht, sodass die Fläche positiv bleibt.
Der Betrag |f(x)| stellt sicher, dass der Radius nichtnegativ ist, selbst dort, wo f unter die Achse sinkt. Die Ergebnisse setzen voraus, dass f auf [a, b] stetig und differenzierbar ist; scharfe Ecken oder vertikale Tangenten (zum Beispiel √x bei x = 0) können die Genauigkeit leicht verringern. Die Einheiten des Ergebnisses sind das Quadrat der für x und f verwendeten Einheiten.
Häufige Fragen
Ist f(x) = 0 über dem Intervall (zum Beispiel sin(x) über einen symmetrischen Bereich gedreht), ist der Radius null, sodass keine Fläche erzeugt wird. Wähle Grenzen, bei denen |f(x)| positiv ist.
Dieser Rechner dreht die Kurve um die x-Achse. Für die Rotation um die y-Achse würdest du stattdessen 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx integrieren.
Zusammengesetztes Simpson mit 1000 Streifen plus eine zentrale Differenz-Ableitung hoher Ordnung liefert viele korrekte Stellen für glatte Funktionen; erwarte kleine Fehler nur nahe Singularitäten oder vertikalen Tangenten.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für die Mantelfläche eines Rotationskörpers [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für die Mantelfläche eines Rotationskörpers." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für die Mantelfläche eines Rotationskörpers," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
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