Rechner für das Volumen eines Rotationskörpers
Dieser Rechner bestimmt das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Bereich unter einer Kurve y = f(x) um die x-Achse gedreht wird, mithilfe der Scheibenmethode.
Function f(x)
Solid generated by revolving the curve about the x-axis
Wie funktioniert dieser Rechner?
Das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse ist V = π·∫_a^b f(x)² dx (Scheibenmethode). Wähle eine Funktion und die Grenzen a und b; dieses Werkzeug wertet das Integral numerisch mit der Simpson-Regel aus und liefert das Volumen in Kubikeinheiten sowie eine Darstellung der gedrehten Kurve.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f(x) und die Intervallgrenzen a und b. Der Bereich, der von der Kurve, der x-Achse und den senkrechten Geraden x = a und x = b begrenzt wird, wird eine volle Umdrehung um die x-Achse gedreht. Jede dünne Scheibe senkrecht zur Achse wird zu einer Scheibe mit Radius f(x) und Dicke dx, sodass ihr Volumen π·f(x)²·dx ist. Das Summieren dieser ergibt V = π·∫_a^b f(x)² dx.
Das bestimmte Integral der quadrierten Funktion wird numerisch mit der zusammengesetzten Simpson-Regel mit n = 1000 Teilintervallen ausgewertet, was für glatte Funktionen ein sehr genaues Ergebnis liefert. Der Rechner behandelt a > b durch Integration über das geordnete Intervall, und das angegebene Volumen ist stets nichtnegativ, da der Integrand f(x)² nichtnegativ ist.
Die Volumina werden in Kubikeinheiten passend zu den Einheiten von x und f(x) ausgedrückt. Die Scheibenmethode setzt voraus, dass der Bereich die Achse berührt (Radius = f(x)); für von der Achse versetzte Bereiche verwende stattdessen die Kreisringmethode. Funktionen mit Singularitäten innerhalb des Intervalls (zum Beispiel 1/x nahe x = 0) können nicht endliche oder unzuverlässige Werte erzeugen, in welchem Fall kein Ergebnis angezeigt wird.
Häufige Fragen
Sie zerlegt den Körper in dünne kreisförmige Scheiben senkrecht zur Rotationsachse. Jede Scheibe hat den Radius f(x) und die Dicke dx, was das Volumen π·f(x)²·dx ergibt; die Integration von a bis b summiert sie.
Das Integral wird mit der zusammengesetzten Simpson-Regel auf 1000 Teilintervallen berechnet, was für glatte Kurven sehr genau ist. Funktionen mit scharfen Merkmalen oder Singularitäten im Intervall verringern die Genauigkeit.
Der Integrand ist f(x)², der nie negativ ist, sodass das Integral und das resultierende Volumen unabhängig vom Vorzeichen von f(x) stets größer oder gleich null sind.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für das Volumen eines Rotationskörpers [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/volume-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für das Volumen eines Rotationskörpers." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/volume-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für das Volumen eines Rotationskörpers," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/volume-of-revolution-calculator
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