Υπολογιστής Μεθόδου Newton
Η μέθοδος Newton προσεγγίζει γρήγορα μια ρίζα μιας συνάρτησης ακολουθώντας επανειλημμένα την εφαπτομένη μέχρι τον άξονα x.
Function f(x)
Converged in 5 iterations
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Η μέθοδος Newton βρίσκει μια ρίζα της f(x) επαναλαμβάνοντας x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) από μια αρχική εκτίμηση x₀. Αυτό το εργαλείο χρησιμοποιεί μια αριθμητική παράγωγο και σταματά όταν το βήμα είναι κάτω από 1e-10 ή μετά από 50 επαναλήψεις, αναφέροντας την προσεγγιστική ρίζα και πόσες επαναλήψεις χρειάστηκε.
Τύπος
How this is calculated
Επιλέξτε μια συνάρτηση f(x) και μια αρχική εκτίμηση x₀. Ο υπολογιστής επαναλαμβάνει την ενημέρωση Newton-Raphson x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n), όπου η παράγωγος f′(x_n) εκτιμάται αριθμητικά με μια κεντρική διαφορά, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) χρησιμοποιώντας h = 1e-6. Αυτό αποφεύγει την ανάγκη μιας συμβολικής παραγώγου ενώ παραμένει ακριβές.
Η επανάληψη συνεχίζεται μέχρι το μέγεθος του βήματος |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| να πέσει κάτω από 1e-10 (σύγκλιση) ή να ληφθούν 50 βήματα. Το τελικό x αναφέρεται ως η προσεγγιστική ρίζα, μαζί με το πλήθος των επαναλήψεων και το υπόλοιπο f(root), που θα πρέπει να είναι κοντά στο μηδέν για μια καλή λύση.
Η μέθοδος Newton συγκλίνει πολύ γρήγορα (τετραγωνικά) κοντά σε μια απλή ρίζα, αλλά μπορεί να αποτύχει ή να αποκλίνει αν η αρχική εκτίμηση είναι κακή, αν η παράγωγος είναι μηδέν σε κάποια επανάληψη, ή για συναρτήσεις με επίπεδες περιοχές ή πολλαπλές ρίζες. Η επιλογή x₀ κοντά στην αναμενόμενη ρίζα και ο έλεγχος του υπολοίπου προστατεύουν από αυτές τις ακραίες περιπτώσεις.
Συχνές ερωτήσεις
Αν η αρχική εκτίμηση είναι μακριά από μια ρίζα, αν η f′(x) είναι μηδέν ή πολύ μικρή σε μια επανάληψη, ή αν η συνάρτηση ταλαντώνεται, η επανάληψη μπορεί να αποκλίνει ή να πηδά μεταξύ τιμών. Δοκιμάστε ένα διαφορετικό σημείο εκκίνησης πιο κοντά εκεί όπου περιμένετε τη ρίζα.
Προσεγγίζεται αριθμητικά με μια κεντρική διαφορά, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) με h = 1e-6, οπότε δεν απαιτείται παράγωγος υπολογισμένη με το χέρι.
Το υπόλοιπο είναι το f(root): η τιμή της συνάρτησης στην υπολογισμένη ρίζα. Ένα υπόλοιπο πολύ κοντά στο μηδέν δείχνει ότι η εκτίμηση είναι ακριβής.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Μεθόδου Newton [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Μεθόδου Newton." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Μεθόδου Newton," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/newtons-method-calculator
@misc{wecalculate_newtons_method_calculator, title = {Υπολογιστής Μεθόδου Newton}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/newtons-method-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;