Beginner

Keskipistesäännön laskin

Arvioi määrätyn integraalin arvo summaamalla suorakulmioiden pinta-alat, joiden korkeudet otetaan kunkin osavälin keskipisteestä.

Function f(x)

Curve to integrate

Lower limit a

Upper limit b

Subintervals n

Number of rectangles

Integral approximation

2,6250

Midpoint rule estimate

Δx (width)

0,5

Rectangles

Interval

[0, 2]

Midpoint rectangle heights

Step by step

1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0,5
2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5,25
3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0,5 × 5,25 = 2,6250
The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.

Tulokset ovat arvioita ja tarkoitettu vain yleiseen tiedoksi, eivätkä ne ole ammattilaisen neuvoja — varmista aina tärkeät tulokset itsenäisesti ennen kuin luotat niihin. Lue koko vastuuvapauslauseke.

Pikavastaus

Miten tämä laskin toimii?

Keskipistesääntö approksimoi määrättyä integraalia jakamalla välin [a, b] n yhtä suureen kaistaan leveydeltään Δx = (b − a)/n, laskemalla funktion kunkin kaistan keskipisteessä ja summaamalla nämä korkeudet kertaa Δx. Se on tarkka lineaarisille funktioille ja sen virhe pienenee kuten 1/n², joten suurempi n antaa terävämmät arviot.

Kaava

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ Δx · Σ f(a + (i + 0.5)·Δx), Δx = (b − a) / n

How this is calculated

Keskipistesääntö on Riemannin summa -menetelmä numeerista integrointia varten. Valitset funktion f(x), alarajan a, ylärajan b ja yhtä suurten osavälien lukumäärän n. Laskin laskee ensin yhteisen leveyden Δx = (b − a) / n jakaen välin [a, b] n kaistaan.

Jokaiselle kaistalle i (0:sta n − 1:een) se laskee funktion keskipisteessä mₚ = a + (i + 0.5)·Δx ja käsittelee f(mₚ):n suorakulmion korkeutena. Kunkin korkeuden kertominen Δx:llä antaa suorakulmion alan, ja kaikkien suorakulmioiden lisääminen tuottaa approksimaation Δx · Σ f(mₚ). Keskipisteen käyttäminen vasemman tai oikean päätepisteen sijaan tyypillisesti kumoaa yli- ja aliarvioinnin, joten keskipistesääntö on tarkka lineaarisille funktioille ja kaiken kaikkiaan toisen kertaluvun tarkka.

Rajat voidaan antaa kummassa tahansa järjestyksessä, mutta integraali säilyttää etumerkkisäännön a → b. Virhe pienenee suunnilleen kuten 1/n², kun nostat n:ää, kun taas funktiot, joissa on terävää kaarevuutta tai singulariteetteja (esimerkiksi 1/x ylittäen nollan), tarvitsevat enemmän osavälejä tai määrittelyalueen, joka välttää singulaarisen pisteen. Kulmapohjaiset vaihtoehdot (sin, cos) käyttävät radiaaneja.

Usein kysytyt kysymykset

Näytteenotto keskipisteestä tasapainottaa suorakulmion osat, jotka ovat käyrän ylä- ja alapuolella, joten keskipistesääntö on tarkempi kuin vasen tai oikea Riemannin summa samalle n:lle ja on tarkka suorille viivoille.

Lisää osavälien lukumäärää n. Keskipistesäännön virhe pienenee suunnilleen suhteessa 1/n²:een, joten n:n kaksinkertaistaminen leikkaa virheen noin neljäsosaan.

Kyllä. Jos a on suurempi kuin b, leveys Δx muuttuu negatiiviseksi ja approksimaatio kantaa oikean etumerkin, vastaten ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ.

Tunnetaan myös nimellä

keskipistesääntö

keskipiste riemann summa

suorakaide approksimaatio

numeerinen integrointi

keskipistesääntö laskuri

midpoint rule calculator

midpoint riemann sum

rectangle approximation

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Keskipistesäännön laskin [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fi/calculator/midpoint-rule-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Keskipistesäännön laskin." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fi/calculator/midpoint-rule-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Keskipistesäännön laskin," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fi/calculator/midpoint-rule-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_midpoint_rule_calculator, title = {Keskipistesäännön laskin}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/fi/calculator/midpoint-rule-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Oliko tästä laskimesta sinulle apua?