घूर्णन का पृष्ठीय क्षेत्रफल परिकलक
जब f(x) के ग्राफ को अंतराल [a, b] पर x-अक्ष के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर घुमाया जाता है तब बहाए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल को परिकलित करें।
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 से 1
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
x-अक्ष के परितः घूर्णन का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx है। यह उपकरण f को एक केंद्रीय अंतर से संख्यात्मक रूप से अवकलित करता है और 1000 पैनलों पर संयुक्त सिम्पसन नियम से समाकलन करता है, आपके चुने हुए फलन और सीमाओं a तथा b के लिए बहाया गया पृष्ठीय क्षेत्रफल लौटाते हुए।
सूत्र
How this is calculated
एक फलन f(x) और समाकलन सीमाएँ a और b चुनें। जब आप वक्र y = f(x) को x-अक्ष के परितः घुमाते हैं, तब प्रत्येक बिंदु त्रिज्या |f(x)| का एक वृत्त बनाता है, और एक अतिसूक्ष्म चाप लंबाई ds = √(1 + f′(x)²) dx पार्श्व क्षेत्रफल 2π·|f(x)|·ds का एक पतला छिन्नक बहाता है। समाकलन करने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx मिलता है।
अवकलज f′(x) को एक सममित केंद्रीय अंतर, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) जिसमें h = 1e-6, से संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जाता है, जो द्वितीय क्रम तक सटीक है। फिर निश्चित समाकलन को n = 1000 उपअंतरालों पर संयुक्त सिम्पसन नियम से मूल्यांकित किया जाता है, जिसमें त्रुटि O(h⁴) है और चिकने समाकल्यों को बहुत सटीक रूप से संभालता है। यदि आप a > b दर्ज करें तो सीमाएँ बदल दी जाती हैं ताकि क्षेत्रफल धनात्मक रहे।
निरपेक्ष मान |f(x)| सुनिश्चित करता है कि त्रिज्या अऋणात्मक रहे, तब भी जहाँ f अक्ष के नीचे डूबता है। परिणाम मानते हैं कि f, [a, b] पर संतत और अवकलनीय है; तीखे कोने या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाएँ (उदाहरण के लिए x = 0 पर √x) सटीकता को थोड़ा कम कर सकती हैं। परिणाम की इकाइयाँ x और f के लिए उपयोग की गई इकाइयों का वर्ग होती हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि अंतराल भर में f(x) = 0 हो (उदाहरण के लिए एक सममित क्षेत्र पर घुमाया गया sin(x)) तो त्रिज्या शून्य होती है, इसलिए कोई पृष्ठ उत्पन्न नहीं होता। ऐसी सीमाएँ चुनें जहाँ |f(x)| धनात्मक हो।
यह परिकलक वक्र को x-अक्ष के परितः घुमाता है। y-अक्ष के परितः घूर्णन के लिए आप इसके बजाय 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx समाकलित करते।
1000 पैनलों वाला संयुक्त सिम्पसन जमा एक उच्च-क्रम केंद्रीय-अंतर अवकलज चिकने फलनों के लिए कई सही अंक देता है; केवल विचित्रताओं या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाओं के निकट छोटी त्रुटियों की अपेक्षा करें।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). घूर्णन का पृष्ठीय क्षेत्रफल परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "घूर्णन का पृष्ठीय क्षेत्रफल परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "घूर्णन का पृष्ठीय क्षेत्रफल परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
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