Calcolatore dell'Area di una Superficie di Rivoluzione
Calcola l'area della superficie spazzata quando il grafico di f(x) viene ruotato di un giro completo attorno all'asse x sull'intervallo [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 a 1
Come funziona questo calcolatore?
L'area di una superficie di rivoluzione attorno all'asse x è S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Questo strumento deriva f numericamente con una differenza centrale e integra con la regola di Simpson composita su 1000 pannelli, restituendo l'area della superficie spazzata per la funzione scelta e i limiti a e b.
Formula
How this is calculated
Scegli una funzione f(x) e i limiti di integrazione a e b. Quando ruoti la curva y = f(x) attorno all'asse x, ogni punto traccia un cerchio di raggio |f(x)|, e una lunghezza d'arco infinitesima ds = √(1 + f′(x)²) dx spazza un sottile tronco di cono di area laterale 2π·|f(x)|·ds. Integrando si ottiene l'area totale della superficie S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
La derivata f′(x) è stimata numericamente con una differenza centrale simmetrica, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) con h = 1e-6, accurata al secondo ordine. L'integrale definito viene poi valutato con la regola di Simpson composita su n = 1000 sottointervalli, che ha errore O(h⁴) e gestisce le integrande lisce con grande precisione. Se inserisci a > b i limiti vengono scambiati così l'area resta positiva.
Il valore assoluto |f(x)| assicura che il raggio sia non negativo anche dove f scende sotto l'asse. I risultati assumono che f sia continua e derivabile su [a, b]; spigoli netti o tangenti verticali (ad esempio √x in x = 0) possono ridurre leggermente l'accuratezza. Le unità del risultato sono il quadrato delle unità usate per x e f.
Domande frequenti
Se f(x) = 0 sull'intervallo (ad esempio sin(x) ruotata su una regione simmetrica) il raggio è zero, quindi non viene generata alcuna superficie. Scegli limiti dove |f(x)| è positivo.
Questo calcolatore ruota la curva attorno all'asse x. Per la rivoluzione attorno all'asse y dovresti integrare invece 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx.
La regola di Simpson composita con 1000 pannelli più una derivata a differenze centrali di ordine elevato dà molte cifre corrette per le funzioni lisce; aspettati piccoli errori solo vicino a singolarità o tangenti verticali.
Conosciuto anche come
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calcolatore dell'Area di una Superficie di Rivoluzione [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/it/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calcolatore dell'Area di una Superficie di Rivoluzione." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/it/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calcolatore dell'Area di una Superficie di Rivoluzione," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/it/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
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