TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Wszystkie kalkulatory
Beginner

Kalkulator metody punktu środkowego

Oszacuj wartość całki oznaczonej przez zsumowanie pól prostokątów, których wysokości są wyznaczane w środku każdego podprzedziału.

Function f(x)

Curve to integrate
Number of rectangles
Integral approximation
2,6250

Midpoint rule estimate

Δx (width)
0,5
Rectangles
4
Interval
[0, 2]
Midpoint rectangle heights
Step by step
  1. 1

    Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n

    (2 − 0) ÷ 4 = 0,5
  2. 2

    Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)

    5,25
  3. 3

    Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)

    0,5 × 5,25 = 2,6250
    The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
Wyniki są jedynie szacunkami o charakterze ogólnoinformacyjnym i nie stanowią profesjonalnej porady — zawsze samodzielnie zweryfikuj ważne wyniki, zanim na nich polegniesz. Przeczytaj pełne zastrzeżenie.
Szybka odpowiedź

Jak działa ten kalkulator?

Metoda punktu środkowego przybliża całkę oznaczoną przez podzielenie [a, b] na n równych pasków szerokości Δx = (b − a)/n, obliczenie wartości funkcji w środku każdego paska i zsumowanie tych wysokości pomnożonych przez Δx. Jest dokładna dla funkcji liniowych, a jej błąd maleje jak 1/n², więc większe n daje lepsze przybliżenia.

Wzór
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ Δx · Σ f(a + (i + 0.5)·Δx), Δx = (b − a) / n
How this is calculated

Metoda punktu środkowego to metoda sum Riemanna służąca do numerycznego całkowania. Wybierasz funkcję f(x), dolną granicę a, górną granicę b i liczbę równych podprzedziałów n. Kalkulator wyznacza najpierw wspólną szerokość Δx = (b − a) / n, dzieląc [a, b] na n pasków.

Dla każdego paska i (od 0 do n − 1) oblicza wartość funkcji w punkcie środkowym mₚ = a + (i + 0.5)·Δx i traktuje f(mₚ) jako wysokość prostokąta. Iloczyn każdej wysokości i Δx daje pole prostokąta, a suma wszystkich prostokątów daje przybliżenie Δx · Σ f(mₚ). Użycie punktu środkowego zamiast lewego lub prawego końca podprzedziału zazwyczaj kompensuje przeszacowanie i niedoszacowanie, dlatego metoda jest dokładna dla funkcji liniowych i ma globalnie dokładność drugiego rzędu.

Granice można podać w dowolnej kolejności, ale całka zachowuje konwencję znakową a → b. Błąd maleje mniej więcej jak 1/n² wraz ze wzrostem n; funkcje o ostrych krzywiznach lub osobliwościach (np. 1/x przechodząca przez zero) wymagają większej liczby podprzedziałów lub dziedziny omijającej punkt osobliwy. Opcje trygonometryczne (sin, cos) używają radianów.

Najczęściej zadawane pytania

Próbkowanie w punkcie środkowym równoważy części prostokąta leżące powyżej i poniżej krzywej, dzięki czemu metoda punktu środkowego jest dokładniejsza niż lewa lub prawa suma Riemanna dla tego samego n i jest dokładna dla prostoliniowych funkcji.

Zwiększ liczbę podprzedziałów n. Błąd metody punktu środkowego maleje w przybliżeniu proporcjonalnie do 1/n², więc podwojenie n zmniejsza błąd około czterokrotnie.

Tak. Jeśli a jest większe od b, szerokość Δx staje się ujemna i przybliżenie niesie właściwy znak, zgodnie z ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ.

Znany również jako

metoda prostokątów
reguła punktu środkowego
suma riemanna środkowa
całkowanie numeryczne
aproksymacja prostokątami
midpoint rule calculator
midpoint riemann sum
rectangle approximation

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator metody punktu środkowego [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/midpoint-rule-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator metody punktu środkowego." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/midpoint-rule-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator metody punktu środkowego," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/midpoint-rule-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_midpoint_rule_calculator, title = {Kalkulator metody punktu środkowego}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/midpoint-rule-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Czy ten kalkulator Ci pomógł?

Powiązane kalkulatory

Kalkulator sum Riemanna

Oblicz lewostronne, prawostronne lub środkowe sumy Riemanna dla funkcji na przedziale.

Intermediate

Kalkulator reguły Simpsona

Przybliż całkę oznaczoną regułą Simpsona (łuki paraboliczne) dla wysokiej dokładności.

Intermediate

Kalkulator metody trapezów

Szacuj pole pod krzywą metodą trapezów używając n podprzedziałów.

Beginner

Kalkulator Pola Pod Krzywą

Oblicz pole pod krzywą między a a b za pomocą dokładnego całkowania numerycznego.

Beginner

2×2 Matrix Calculator

Find the determinant, trace, rank, eigenvalues and inverse of any 2×2 matrix in one step, with an animated transformation.

Intermediate

2D Distance Calculator

Calculate the straight-line Euclidean distance between two points on a plane, plus midpoint, slope and angle.

Beginner