Kalkulator metody Newtona
Metoda Newtona szybko przybliża pierwiastek funkcji, wielokrotnie podążając wzdłuż prostej stycznej do osi x.
Function f(x)
Converged in 5 iterations
Jak działa ten kalkulator?
Metoda Newtona znajduje pierwiastek f(x) przez iterację x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) od punktu startowego x₀. Narzędzie używa numerycznej pochodnej i zatrzymuje się, gdy krok spadnie poniżej 1e-10 lub po 50 iteracjach, podając przybliżony pierwiastek i liczbę wykonanych iteracji.
Wzór
How this is calculated
Wybierz funkcję f(x) i punkt startowy x₀. Kalkulator iteruje uaktualnienie Newtona-Raphsona x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n), gdzie pochodna f′(x_n) jest szacowana numerycznie metodą różnic centralnych, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) przy h = 1e-6. Eliminuje to konieczność podawania symbolicznej pochodnej przy zachowaniu dokładności.
Iteracja trwa aż do chwili, gdy rozmiar kroku |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| spadnie poniżej 1e-10 (zbieżność) lub gdy wykonanych zostanie 50 kroków. Końcowe x jest podawane jako przybliżony pierwiastek wraz z liczbą iteracji i residuum f(pierwiastek), które dla dobrego rozwiązania powinno być bliskie zeru.
Metoda Newtona zbiega bardzo szybko (kwadratowo) w pobliżu prostego pierwiastka, ale może zawieść lub rozbiec się, gdy punkt startowy jest daleko od pierwiastka, gdy pochodna jest zerowa w którymś iterowacie lub dla funkcji z płaskimi obszarami lub wieloma pierwiastkami. Wybór x₀ blisko oczekiwanego pierwiastka i sprawdzenie residuum chroni przed tymi przypadkami brzegowymi.
Najczęściej zadawane pytania
Jeśli punkt startowy jest daleko od pierwiastka, jeśli f′(x) jest zerowe lub bardzo małe w którymś iterowacie, albo gdy funkcja oscyluje, iteracja może rozbiegać się lub skakać między wartościami. Spróbuj innego punktu startowego bliżej oczekiwanego pierwiastka.
Jest przybliżana numerycznie metodą różnic centralnych, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) przy h = 1e-6, więc nie jest wymagana ręcznie wyznaczona pochodna.
Residuum to f(pierwiastek) — wartość funkcji w obliczonym pierwiastku. Residuum bardzo bliskie zeru wskazuje, że oszacowanie jest dokładne.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator metody Newtona [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator metody Newtona." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator metody Newtona," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/newtons-method-calculator
@misc{wecalculate_newtons_method_calculator, title = {Kalkulator metody Newtona}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/newtons-method-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?