Kalkulator wielomianu Taylora
Zbuduj wielomian Taylora rzędu n dla funkcji wokół środka c, oblicz jego wartość w punkcie x i zmierz, jak blisko jest wartości dokładnej.
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
Jak działa ten kalkulator?
Wielomian Taylora przybliża funkcję w pobliżu środka c za pomocą Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k!. Wybierz funkcję, środek, punkt ewaluacji i rząd; narzędzie zwraca przybliżenie, wartość dokładną i błąd bezwzględny, a także wykres porównujący obie krzywe, pokazując jak dopasowanie pogarsza się z dala od c.
Wzór
How this is calculated
Wielomian Taylora przybliża gładką funkcję w pobliżu wybranego środka c, używając jej pochodnych w tym punkcie. Każdy wyraz dodaje f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k!, więc wyraz stały odtwarza f(c), wyraz liniowy dopasowuje nachylenie, wyraz kwadratowy dopasowuje krzywiznę i tak dalej aż do rzędu n. Gdy c = 0, jest to szereg Maclaurina.
Wybierasz funkcję, środek c, punkt ewaluacji x i rząd n. Pochodne f⁽ᵏ⁾(c) są obliczane numerycznie k-tego rzędu centralnymi różnicami skończonymi, następnie dzielone przez k! i mnożone przez potęgi (x − c) i sumowane. Kalkulator podaje przybliżenie Pₙ(x), wartość dokładną f(x) i błąd bezwzględny |f(x) − Pₙ(x)|.
Dokładność rośnie wraz z n oraz gdy x zbliża się do c, ponieważ reszta zachowuje się jak (x − c)ⁿ⁺¹. Dla ln(1 + x) dziedzina wymaga x > −1, a 1/(1 − x) ma osobliwość w x = 1, gdzie szereg Taylora zbiega tylko dla |x − c| mniejszego niż promień zbieżności. Ponieważ pochodne są szacowane różnicami skończonymi, bardzo wysokie rzędy mogą akumulować małe błędy zaokrąglenia.
Najczęściej zadawane pytania
Szereg Maclaurina to po prostu szereg Taylora skupiony wokół c = 0. Ustaw środek na 0, aby go odtworzyć.
Reszta Taylora skaluje się z (x − c)ⁿ⁺¹, więc punkty odległe od środka wymagają wyższego rzędu n, aby zachować dokładność, a niektóre funkcje zbiegają tylko w skończonym promieniu.
Każda f⁽ᵏ⁾(c) jest przybliżana k-tego rzędu centralnymi różnicami skończonymi, a następnie łączona z czynnikami silniowymi i potęgowymi w celu utworzenia wielomianu.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator wielomianu Taylora [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator wielomianu Taylora." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator wielomianu Taylora," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/taylor-polynomial-calculator
@misc{wecalculate_taylor_polynomial_calculator, title = {Kalkulator wielomianu Taylora}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/taylor-polynomial-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?