Kalkulator Całki Oznaczonej
Wyznacz dokładną całkę oznaczoną popularnej funkcji na przedziale [a, b], używając jej funkcji pierwotnej w postaci zamkniętej.
Function f(x)
Signed area under the curve from a to b
- 1
Antiderivative at b
F(2) = 2,666667Antiderivative of x² evaluated at the upper limit. - 2
Antiderivative at a
F(0) = 0 - 3
Definite integral F(b) − F(a)
2,666667 − 0 = 2,666667
Jak działa ten kalkulator?
Całka oznaczona wynosi F(b) − F(a), gdzie F jest funkcją pierwotną f. Wybierz funkcję, wpisz granice a i b, a narzędzie zastosuje dokładną funkcję pierwotną, zwracając pole ze znakiem pod krzywą — bez przybliżeń numerycznych, więc wynik jest dokładny w granicach precyzji zmiennoprzecinkowej.
Wzór
How this is calculated
Wybierz podcałkową f(x) z listy i wpisz dolną granicę a oraz górną granicę b. Kalkulator wyszukuje dokładną funkcję pierwotną F(x) dla wybranej funkcji — na przykład x² całkuje się do x³/3, sin x do −cos x, eˣ do eˣ, ln x do x·ln x − x, 1/x do ln|x|, a √x do (2/3)x^1.5 — po czym stosuje zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego mówi, że całka oznaczona jest równa zmianie netto funkcji pierwotnej na przedziale, czyli F(b) − F(a). Daje to pole ze znakiem między krzywą a osią x: obszary poniżej osi odejmują się od sumy. Ponieważ używane są dokładne funkcje pierwotne (a nie przybliżenia numeryczne), wynik nie zawiera błędów dyskretyzacji. Kąty dla sin x i cos x podawane są w radianach.
Niektóre funkcje podcałkowe mają ograniczenia dziedziny. Funkcje ln x i √x są zdefiniowane tylko dla x > 0, więc obie granice muszą być dodatnie. Funkcja pierwotna ln|x| dla 1/x jest ważna tylko na przedziale, który nie zawiera ani nie przekracza zera, ponieważ funkcja ma osobliwość w x = 0. Gdy dane wejściowe naruszają te warunki, kalkulator informuje o konieczności podania prawidłowych wartości, zamiast zwracać bezsensowny wynik.
Najczęściej zadawane pytania
Tak. Odwrócenie granic zmienia znak: ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦᵃ f dx, ponieważ F(b) − F(a) staje się −(F(a) − F(b)).
W radianach. Aby całkować na zakresie podanym w stopniach, najpierw przelicz granice na radiany (pomnóż przez π/180).
Funkcja 1/x jest niezdefiniowana w x = 0, a całka rozbieżna w tym punkcie, więc funkcja pierwotna ln|x| ma zastosowanie wyłącznie na przedziałach leżących całkowicie po jednej stronie zera.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator Całki Oznaczonej [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/definite-integral-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator Całki Oznaczonej." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/definite-integral-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator Całki Oznaczonej," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/definite-integral-calculator
@misc{wecalculate_definite_integral_calculator, title = {Kalkulator Całki Oznaczonej}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/definite-integral-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?