Calculator Derivată Direcțională
Determină cât de rapid se schimbă o funcție f(x, y) într-un punct când te deplasezi în direcția specificată.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Cum funcționează acest calculator?
Derivata direcțională D_u f măsoară cât de rapid se schimbă f(x, y) într-un punct la deplasarea în direcția aleasă. Este egală cu gradientul ∇f = (fx, fy) înmulțit scalar cu direcția unitate û. Instrumentul estimează gradientul prin diferențe centrale, normalizează vectorul și raportează D_u f împreună cu derivatele parțiale.
Formulă
How this is calculated
Alegeți o funcție f(x, y) și un punct (x, y), apoi furnizați un vector de direcție (u1, u2). Calculatorul estimează mai întâi gradientul ∇f = (fx, fy) folosind coeficientul de diferență simetrică (centrală) cu un pas mic h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) și fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Diferențele centrale sunt folosite deoarece eroarea lor este O(h²), făcându-le mult mai precise decât diferențele unilaterale.
Direcția este normalizată apoi la un vector unitate û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), deoarece derivata direcțională este definită pentru o direcție de lungime unitară. Rezultatul este produsul scalar D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, care dă rata de variație instantanee a lui f în acel punct în direcția respectivă.
Unitățile urmează pe f: D_u f are unitățile lui f pe unitate de lungime parcursă. Dacă vectorul de direcție este vectorul zero, lungimea sa este zero și rezultatul este nedefinit, deci acel caz nu returnează niciun răspuns. Derivata direcțională maximă posibilă într-un punct este egală cu magnitudinea gradientului |∇f| și apare în direcția gradientului însuși; deplasarea perpendiculară pe gradient dă zero.
Întrebări frecvente
Derivata direcțională este definită de-a lungul unei direcții unitare. Normalizarea lui (u1, u2) prin lungimea sa elimină efectul magnitudinii vectorului, astfel că rezultatul reflectă numai direcția, nu cât de lung este vectorul.
Diferențele centrale cu h = 1e-5 au o eroare proporțională cu h², deci pentru funcții netede gradientul este de obicei precis la multe cifre semnificative, apropiindu-se îndeaproape de derivatele parțiale analitice exacte.
Direcția gradientului ∇f însuși, unde D_u f este egal cu magnitudinea gradientului |∇f|. Direcția opusă dă valoarea cea mai negativă, iar direcțiile perpendiculare pe ∇f dau zero.
Cunoscut și ca
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculator Derivată Direcțională [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ro/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calculator Derivată Direcțională." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ro/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calculator Derivată Direcțională," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ro/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Calculator Derivată Direcțională}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ro/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Te-a ajutat acest calculator?