Rezolvator de ecuații de gradul al doilea
Rezolvă orice ecuație de gradul al doilea și vezi rădăcinile și discriminantul ei.
Două rădăcini reale
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Discriminant
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Formulă
How this is calculated
O ecuație de gradul al doilea are forma ax² + bx + c = 0, unde a, b și c sunt numerele pe care le introduci. Coeficientul a îl înmulțește pe x² și nu trebuie să fie zero — dacă ar fi, ecuația ar fi liniară, nu pătratică. Coeficientul b îl înmulțește pe x, iar c este termenul liber de sine stătător. Programul aplică formula pătratică x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, care dă valorile exacte ale lui x în care parabola intersectează zero.
Mărimea cheie este discriminantul, D = b² − 4ac, calculat primul. Semnul său decide natura rădăcinilor fără niciun efort suplimentar: D > 0 dă două rădăcini reale distincte, D = 0 dă o rădăcină reală dublă (parabola atinge doar axa x), iar D < 0 dă o pereche de rădăcini complexe conjugate scrise ca re ± im·i.
Datele de intrare sunt numere pure fără unități, așa că rezultatele păstrează orice unități implică problema ta. Calculele folosesc aritmetică standard în virgulă mobilă, deci coeficienții foarte mari sau rădăcinile extrem de apropiate pot arăta mici diferențe de rotunjire în valorile afișate.
Exemple
| Intrare | Rezultat |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Despre acest calculator
Un rezolvitor de ecuații de gradul al doilea găsește valorile lui x care satisfac o ecuație de forma ax^2 + bx + c = 0, unde a, b și c sunt constante și a nu este zero. Aceste soluții se numesc rădăcinile ecuației, iar grafic ele sunt punctele în care parabola y = ax^2 + bx + c traversează axa orizontală.
Rezolvitorul aplică formula de gradul al doilea, x = (-b plus sau minus rădăcina pătrată din (b^2 - 4ac)) împărțit la 2a. Expresia de sub rădăcina pătrată, b^2 - 4ac, se numește discriminant și decide natura rădăcinilor înainte chiar să termini calculul. Dacă discriminantul este pozitiv, există două rădăcini reale distincte, dacă este exact zero, există o rădăcină reală repetată, iar dacă este negativ, există două rădăcini complexe conjugate care implică unitatea imaginară i.
Pentru a folosi instrumentul, introdu cei trei coeficienți a, b și c exact așa cum apar în ecuația ta, inclusiv orice semne negative. Rezolvitorul raportează discriminantul, îți spune câte rădăcini reale sau complexe există și apoi dă rădăcinile însele. Afișarea discriminantului mai întâi îți permite să înțelegi rezultatul, nu doar să citești un număr.
Interpretarea rezultatului înseamnă potrivirea rădăcinilor cu discriminantul. Două rădăcini reale înseamnă că parabola taie axa în două locuri; o rădăcină repetată înseamnă că doar atinge axa la vârful ei; iar rădăcinile complexe înseamnă că parabola nu atinge deloc axa. Poți verifica întotdeauna o rădăcină reală substituind-o înapoi în ecuația originală, care ar trebui să dea zero.
Greșelile frecvente includ introducerea lui a ca zero, ceea ce nu este deloc o ecuație de gradul al doilea, ci o ecuație liniară, și omiterea unui semn minus la transcrierea coeficienților, ceea ce schimbă în tăcere răspunsul. Oamenii uită de asemenea uneori că scăderea din interiorul formulei poate inversa semnele și că un discriminant negativ nu înseamnă că nu există nicio soluție, ci doar că soluțiile sunt complexe, nu reale.
Întrebări frecvente
Discriminantul este b^2 - 4ac, partea de sub rădăcina pătrată din formula de gradul al doilea. Îți spune natura rădăcinilor: pozitiv înseamnă două rădăcini reale distincte, zero înseamnă o rădăcină reală repetată, iar negativ înseamnă două rădăcini complexe conjugate.
Atunci nu este deloc o ecuație de gradul al doilea, ci una liniară, bx + c = 0, cu o singură soluție x = -c/b. O ecuație de gradul al doilea autentică necesită ca a să fie nenul, altfel termenul x^2 dispare și formula de gradul al doilea nu se poate aplica.
Da, atunci când discriminantul este exact zero. În acest caz formula dă o singură rădăcină repetată x = -b/(2a), iar grafic parabola doar atinge axa orizontală la vârful ei, în loc să o traverseze.
Înseamnă că ecuația nu are soluții reale, ci două complexe, scrise ca conjugate de forma p plus sau minus qi. Parabola nu traversează niciodată axa orizontală, dar rădăcinile există totuși în cadrul sistemului numerelor complexe.
Substituie-o înapoi în ecuația originală ax^2 + bx + c. Dacă valoarea este o rădăcină adevărată, expresia ar trebui să dea zero (sau extrem de aproape de zero, ținând cont de rotunjire). Acest lucru funcționează pentru ambele rădăcini reale.
Pentru ax^2 + bx + c = 0, cele două rădăcini se adună până la -b/a și se înmulțesc până la c/a. Aceste relații, cunoscute drept formulele lui Viète, oferă o modalitate rapidă de a verifica corectitudinea rezultatului rezolvitorului fără a reface calculul complet.
Cunoscut și ca
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rezolvator de ecuații de gradul al doilea [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ro/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Rezolvator de ecuații de gradul al doilea." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ro/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rezolvator de ecuații de gradul al doilea," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ro/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Rezolvator de ecuații de gradul al doilea}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ro/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Te-a ajutat acest calculator?