Калькулятор функции Эйлера (фи)
Функция Эйлера φ(n) подсчитывает, сколько целых чисел от 1 до n не имеют общих множителей с n, кроме 1.
Count of integers in 1..n coprime to 36
12
coprimeCoprime to n
33.3%
Sharing a factor
66.7%
- 1
Distinct prime factors of n
2, 3 - 2
Apply product formula φ(n) = n × Π(1 − 1/p)
36 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 12
Как работает этот калькулятор?
Функция Эйлера φ(n) подсчитывает целые числа от 1 до n, взаимно простые с n. Разложите n на различные простые p и вычислите φ(n) = n · Π(1 − 1/p). Отношение φ(n)/n равно этому произведению и даёт вероятность того, что случайное целое число меньше n взаимно просто с n.
Формула
How this is calculated
Введите одно натуральное число n (n ≥ 1). Калькулятор раскладывает n на множители методом пробных делений, находя каждое различное простое p, на которое делится n. Повторяющиеся простые множители объединяются — для функции Эйлера важно только множество различных простых.
Начиная с φ = n, результат умножается на (1 − 1/p) для каждого различного простого p, что реализуется как φ = φ − φ/p во избежание накопления ошибок с плавающей точкой; итоговое значение округляется до ближайшего целого. Это произведительная формула φ(n) = n · Π(1 − 1/p), верная потому, что функция Эйлера мультипликативна по попарно взаимно простым степеням простых. Отношение φ(n)/n равно тому же произведению и представляет вероятность того, что случайное число в диапазоне 1..n взаимно просто с n.
Крайние случаи: φ(1) = 1 по соглашению, а для простого n φ(n) = n − 1 с единственным простым множителем — самим n. Допускаются только целые натуральные числа; нецелые значения, числа меньше 1 или очень большие n (свыше 10^12) отклоняются. Результаты — чистые количества, без физических единиц.
Часто задаваемые вопросы
По соглашению φ(1) = 1, поскольку 1 считается взаимно простым с самим собой, а простых множителей нет, чтобы уменьшить счёт.
Простое число p не имеет общих множителей ни с одним из чисел 1, 2, …, p − 1, поэтому все p − 1 из них взаимно просты с p — исключено лишь само p.
Нет. В произведении Π(1 − 1/p) участвуют только различные простые, делящие n; их кратности поглощаются ведущим множителем n.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор функции Эйлера (фи) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/euler-totient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор функции Эйлера (фи)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/euler-totient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор функции Эйлера (фи)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/euler-totient-calculator
@misc{wecalculate_euler_totient_calculator, title = {Калькулятор функции Эйлера (фи)}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/euler-totient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?