Калькулятор метода средних прямоугольников
Оцените значение определённого интеграла, суммируя площади прямоугольников, высоты которых берутся в средних точках подотрезков.
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0,5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5,25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0,5 × 5,25 = 2,6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
Как работает этот калькулятор?
Метод средних прямоугольников аппроксимирует определённый интеграл, разбивая [a, b] на n равных полосок шириной Δx = (b − a)/n, вычисляя функцию в средней точке каждой полоски и суммируя эти высоты, умноженные на Δx. Метод точен для линейных функций, а погрешность убывает как 1/n², поэтому увеличение n даёт более точный результат.
Формула
How this is calculated
Метод средних прямоугольников — это метод численного интегрирования на основе сумм Римана. Выберите функцию f(x), нижний предел a, верхний предел b и количество равных подотрезков n. Калькулятор вычисляет общую ширину Δx = (b − a) / n, разбивая [a, b] на n полосок.
Для каждой полоски i (от 0 до n − 1) функция вычисляется в средней точке mₚ = a + (i + 0.5)·Δx, и значение f(mₚ) используется как высота прямоугольника. Произведение высоты на Δx даёт площадь прямоугольника, а сумма всех прямоугольников — приближение Δx · Σ f(mₚ). Использование средней точки (а не левого или правого конца) как правило компенсирует завышение и занижение, поэтому метод точен для линейных функций и имеет второй порядок точности в целом.
Пределы можно задавать в любом порядке, но интеграл сохраняет знаковое соглашение a → b. Погрешность убывает приблизительно как 1/n² при увеличении n, тогда как функции с резкими изгибами или особенностями (например, 1/x при пересечении нуля) требуют большего числа подотрезков или области, исключающей особую точку. Тригонометрические функции (sin, cos) используют радианы.
Часто задаваемые вопросы
Взятие значения в средней точке уравновешивает части прямоугольника, которые находятся выше и ниже кривой, поэтому метод средних прямоугольников точнее левой и правой сумм Римана при том же n и даёт точный результат для прямых линий.
Увеличьте количество подотрезков n. Погрешность метода средних прямоугольников убывает приблизительно пропорционально 1/n², поэтому удвоение n снижает погрешность примерно в четыре раза.
Да. Если a больше b, ширина Δx становится отрицательной, и приближение принимает правильный знак, соответствуя соглашению ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор метода средних прямоугольников [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор метода средних прямоугольников." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор метода средних прямоугольников," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/midpoint-rule-calculator
@misc{wecalculate_midpoint_rule_calculator, title = {Калькулятор метода средних прямоугольников}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/midpoint-rule-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?