Калькулятор отрицательного биномиального распределения

Формула

How this is calculated

Отрицательное биномиальное (распределение Паскаля) моделирует число неудач X = k, происходящих до r-го успеха, где каждое независимое испытание завершается успехом с вероятностью p. Функция вероятностной массы: P(X = k) = C(k + r − 1, k) · p^r · (1 − p)^k для k = 0, 1, 2, …. Биномиальный коэффициент подсчитывает расстановки первых k неудач и r − 1 успехов среди первых k + r − 1 испытаний; последнее испытание всегда является r-м успехом. Этот калькулятор вычисляет коэффициент через логарифм гамма-функции для численной устойчивости при больших r и k.

Введите r (необходимое число успехов, положительное целое число), p (вероятность успеха в одном испытании от 0 до 1) и k (число неудач). Селектор режима выбирает между точечной вероятностью P(X = k), нижней кумулятивной P(X ≤ k) и верхним хвостом P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Среднее число неудач равно r(1 − p)/p, а дисперсия — r(1 − p)/p², поэтому разброс быстро растёт при стремлении p к 0.

Допущения: испытания независимы и одинаково распределены, p постоянна, а счётчики — неотрицательные целые числа (k округляется). Результат не определён при p ≤ 0 или p > 1; при p → 1 распределение стягивается к k = 0, поскольку успехи наступают почти немедленно.