Калькулятор метода Ньютона
Метод Ньютона быстро находит приближённый корень функции, последовательно следуя по касательной до пересечения с осью x.
Function f(x)
Converged in 5 iterations
Как работает этот калькулятор?
Метод Ньютона находит корень f(x), итерируя x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) начиная с начального приближения x₀. Данный инструмент использует численную производную и останавливается, когда шаг становится меньше 1e-10 или после 50 итераций, выводя приближённый корень и количество выполненных итераций.
Формула
How this is calculated
Выберите функцию f(x) и начальное приближение x₀. Калькулятор итерирует обновление по методу Ньютона–Рафсона x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n), где производная f′(x_n) оценивается численно с помощью центральных разностей: f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) при h = 1e-6. Это позволяет избежать необходимости вычислять символьную производную, сохраняя точность.
Итерации продолжаются до тех пор, пока размер шага |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| не упадёт ниже 1e-10 (сходимость) или не будет выполнено 50 шагов. Итоговое x выдаётся как приближённый корень вместе с числом итераций и невязкой f(root), которая должна быть близка к нулю при хорошем решении.
Метод Ньютона сходится очень быстро (квадратично) вблизи простого корня, но может не сработать или разойтись, если начальное приближение плохо выбрано, производная в некоторой итерации обращается в нуль, или функция имеет пологие участки или несколько корней. Выбор x₀ близко к ожидаемому корню и проверка невязки помогают избежать этих проблем.
Часто задаваемые вопросы
Если начальное приближение далеко от корня, если f′(x) равна нулю или очень мала в какой-либо итерации, или если функция осциллирует, итерации могут расходиться или скакать между значениями. Попробуйте другую начальную точку, ближе к ожидаемому корню.
Она аппроксимируется численно с помощью центральных разностей: f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) при h = 1e-6, поэтому ручное вычисление производной не требуется.
Невязка — это f(root): значение функции в найденном корне. Невязка, очень близкая к нулю, свидетельствует о точности оценки.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор метода Ньютона [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор метода Ньютона." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор метода Ньютона," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/newtons-method-calculator
@misc{wecalculate_newtons_method_calculator, title = {Калькулятор метода Ньютона}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/newtons-method-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?