Калькулятор строки треугольника Паскаля

Формула

How this is calculated

Треугольник Паскаля — это массив биномиальных коэффициентов, где каждый элемент равен сумме двух элементов непосредственно над ним. Единственным входным параметром является n — индекс строки, нумерация с нуля: строка 0 — это [1], строка 1 — [1, 1], строка 2 — [1, 2, 1] и так далее. Калькулятор строит строку итерационно, а не вычисляя каждый факториал отдельно. Он начинает с C(n,0) = 1 и применяет рекуррентное соотношение C(n,k) = C(n,k−1) · (n−k+1) / k для k от 1 до n. Поскольку каждое промежуточное значение является точным целым числом, этот мультипликативный метод позволяет избежать переполнения, которое возникло бы при прямом вычислении n!, и работает значительно быстрее.

Строка содержит n + 1 элементов, симметрична (C(n,k) = C(n,n−k)) и образует колоколообразное распределение с пиком в середине. Сумма всех коэффициентов в строке n равна 2^n, что следует из биномиальной теоремы при x = y = 1: (1 + 1)^n = Σ C(n,k). Эти коэффициенты являются именно теми множителями, которые появляются при раскрытии (x + y)^n.

Входное значение должно быть неотрицательным целым числом. Нецелые, отрицательные или пустые значения не дают результата. При очень большом n коэффициенты превышают точность числа с плавающей запятой двойной точности, поэтому результаты для n более нескольких сотен следует считать приближёнными.