Калькулятор числа Каталана
Найдите n-е число Каталана и проследите, как последовательность 1, 1, 2, 5, 14, 42, … стремительно растёт с увеличением n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1 430
Как работает этот калькулятор?
n-е число Каталана — это Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Оно подсчитывает правильные скобочные расстановки, полные двоичные деревья, пути на решётке и триангуляции многоугольников. Последовательность начинается с 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … и растёт приблизительно как 4ⁿ. Введите любое целое n ≥ 0, чтобы получить Cₙ и полный график роста.
Формула
How this is calculated
Введите неотрицательное целое число n. Числа Каталана Cₙ подсчитывают огромное семейство комбинаторных объектов: количество способов правильно расставить n пар скобок, количество полных двоичных деревьев с n+1 листьями, количество монотонных путей на решётке, не пересекающих диагональ, и количество триангуляций выпуклого (n+2)-угольника — все они равны одному и тому же Cₙ.
Замкнутая формула: Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), или центральный биномиальный коэффициент C(2n, n), делённый на (n+1). Поскольку прямое вычисление факториалов быстро приводит к переполнению, калькулятор использует точное целочисленное рекуррентное соотношение C₀ = 1 и C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). На каждом шаге выполняется умножение на целочисленный множитель, что сохраняет точность текущего значения до тех пор, пока позволяет двойная точность, и строит полную последовательность C₀…Cₙ, отображаемую на графике роста.
Значения — безразмерные счётные числа, поэтому значимо только целое n ≥ 0; дробный ввод округляется вниз. Поскольку Cₙ растёт приблизительно как 4ⁿ / (n^{3/2}√π), числа выходят за пределы точного целочисленного диапазона 64-битного числа с плавающей точкой примерно при n = 30 и полностью переполняются при n ≈ 170, поэтому ввод ограничен значением 170, а большие результаты выводятся в научной нотации.
Часто задаваемые вопросы
Последовательность начинается: C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429, C₈ = 1430.
Из рекуррентного соотношения Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), что стремится к 4 при росте n. Это отражает асимптотический рост Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Числа Каталана растут экспоненциально. При n ≈ 170 значение превышает максимальное представимое число двойной точности (~1,8×10³⁰⁸), поэтому большие значения не могут быть точно вычислены стандартными числами с плавающей точкой.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор числа Каталана [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор числа Каталана." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор числа Каталана," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Калькулятор числа Каталана}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?