Калькулятор многочлена Тейлора
Постройте многочлен Тейлора n-го порядка функции с центром c, вычислите его в точке x и измерьте близость к точному значению.
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
Как работает этот калькулятор?
Многочлен Тейлора аппроксимирует функцию вблизи центра c с помощью Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k!. Выберите функцию, центр, точку вычисления и порядок — инструмент вернёт приближение, точное значение и абсолютную погрешность, а также график сравнения обеих кривых, показывающий, как качество аппроксимации ухудшается вдали от c.
Формула
How this is calculated
Многочлен Тейлора аппроксимирует гладкую функцию вблизи выбранного центра c, используя её производные в этой точке. Каждый член добавляет f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k!, поэтому нулевой член воспроизводит f(c), линейный член соответствует наклону, квадратичный — кривизне, и так далее вплоть до порядка n. При c = 0 это ряд Маклорена.
Выберите функцию, центр c, точку вычисления x и порядок n. Производные f⁽ᵏ⁾(c) вычисляются численно с помощью центральных конечных разностей k-го порядка, затем делятся на k! и умножаются на степени (x − c) и суммируются. Калькулятор возвращает приближение Pₙ(x), точное значение f(x) и абсолютную погрешность |f(x) − Pₙ(x)|.
Точность улучшается с ростом n и по мере приближения x к c, поскольку остаток ведёт себя как (x − c)ⁿ⁺¹. Для ln(1 + x) область определения требует x > −1, а у 1/(1 − x) имеется особенность при x = 1; ряд Тейлора сходится лишь при |x − c| в пределах радиуса сходимости. Поскольку производные оцениваются конечными разностями, при очень высоких порядках может накапливаться небольшая погрешность округления.
Часто задаваемые вопросы
Ряд Маклорена — это просто ряд Тейлора с центром c = 0. Установите центр в 0, чтобы получить его.
Остаток Тейлора пропорционален (x − c)ⁿ⁺¹, поэтому для точек, далёких от центра, требуется более высокий порядок n, а некоторые функции сходятся лишь в конечном радиусе.
Каждая f⁽ᵏ⁾(c) аппроксимируется центральными конечными разностями k-го порядка, затем объединяется с факториалом и степенными членами для формирования многочлена.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор многочлена Тейлора [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор многочлена Тейлора." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор многочлена Тейлора," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/taylor-polynomial-calculator
@misc{wecalculate_taylor_polynomial_calculator, title = {Калькулятор многочлена Тейлора}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/taylor-polynomial-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?